この証明は、実際に対称式を基本対称式の多項式で表す方法を示しています。 を基本対称式 の多項式で書いてみます。 第1段階 に含まれる項の中で、定理の証明で述べた順序に関して最大の項は となります。 によって変形する(両辺の差をとる)と となります。 …

[定理]対称式は基本対称式の多項式となります。これを3変数()の場合について証明します。この場合基本対称式は となります。[証明] を対称式とします。 は という形の式の和の形で書くことができます。 この という形の式を単項式といいます。 の中に(和の成…

変数の多項式 は対称式となります()。これらの対称式を基本対称式といいます。のときはとが基本対称式となります。のときはととが基本対称式となります。

では、「対称式の基本定理」の証明を書こうと思いますが、これはけっこうめんどうなので、まず3変数の場合からやってみます。

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集合からそれ自身への全単射の全体は、写像の合成を演算として群になります。このを次の対称群といいます。 多項式が対称群の任意の元に対して を満たすとき、多項式を対称式といいます。

複数の変数に関する多項式も同様に定義することができます。 変数の多項式とは、1変数の場合と同様に、文字から加法、減法、乗法によってできる式となります。多項式の加法、乗法を、やはり通常の加法、乗法のように定義することができ、この演算によって多…

以上のことを考えて、環上の多項式を以下のように定義します。 を単位元をもつ可換環とします。 ()という形の式を、の元を係数とする変数(不定元ともいいます)の多項式といいます。多項式の加法、乗法は上に書いたように(文字を含む式の加法、乗法のように)…

文字を含む式の中で、加法、減法、乗法だけで書けるもの(たとえばのようなもの)は、 という形にすることができます(たとえばのときはと書ける)。 この という形の式を変数の多項式といいます。多項式の和、積は多項式になります。多項式 と の加法は、まずと…

今回はまず、多項式について説明したいと思います。その後、「対称式の基本定理」と代数方程式の代数的解法について書いてみる予定です。