前回の(1)を使っているところでモノイドの準同型の場合の結果を使っていましたが、その説明を書き直したと思ったのに書き直していなかったので、改めて書き直します。 モノイドの準同型 のとき 、 を と定義します。モノイド の単位元を と書くことにします…

「群論の計算(2)」の続きを見ていきます。ここでは写像の像と逆像の記法は通常の記法に戻します。写像の定義が明示的に書かれていないため主張がわかりにくいという点を解消するために書いたものですが、あまりわかりやすくなっていないので、少し書き直しま…

「群論の計算(2)」に書いた内容について考えます。「群論の計算」は「アーベル・ルフィニの定理」(『ガロア理論12講 概念と直観でとらえる現代数学入門 (角川学芸出版単行本)』参照)の一部の計算を多項式の計算と「項書き換え」を使って書こうということを目…

「集合の計算(3)」の議論を の場合について考えます。前回の結果から ( が写像)のときは 、 のとき (i) (ii) が成り立ちます。、、、、 とします。 (iii) のとき [証明] (i) より [証明終わり] (iv) のとき [証明] (ii) より [証明終わり] (9) のとき [証明]…

前回の議論を の場合について考えます。、、 のとき と定義します。定義より 、、、 に対して が成り立ちます。、、、、、、、、 とするとき となって が成り立ちます。 ( が写像)のときは であることから となるので が成り立ちます。 が の部分集合()、 が…

前回と同様、いったん 、、、 のとき が成り立つとします。、、、、 のとき が成り立つとします。この方針で (1) から (8) までの証明を書き直します。、、、、、 の部分集合系 、 の部分集合系 に対して以下が成り立ちます。 (1) [証明] [証明終わり] (2) […

前回の定義では計算が長くなるため、いったん 、、、 のとき が成り立つとして進めていきます。(後で書き直す予定)、、、、 とします。 (*) [証明] [証明終わり] (9) [証明] と(*) から成り立ちます。[証明終わり] (10) [証明] と(*) から成り立ちます。[証…

続いて「エレファントな整数論(20)」(の前半)の議論について考えます。 集合と写像 、 のとき が成り立ちます。、、 とします。、 について以下のことが成り立ちます(これらは上記の記法では 、 となり、以下このように書くこともあります)。 上記の の場合…

前回の「多重集合・自由可換モノイド(7)」では数式の変形について考えましたが、これをわかりやすくするために図解する方法について考えていきます。前回は「ある数式があって、その数式のある部分に写像を適用することによって集合の包含関係が得られる」と…