第4段階(第2段階を元に戻すことに対応) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

$f_m(\xi)$ を $g_{m,n}(\xi)$ で表すことによって $f_m(\xi)$ を $a$ 、 $b$ 、 $c$ の加減乗除と平方根で表します。

$\zeta_{m,n}^2 = g_{m,n}(\xi)$ を満たす複素数 $\zeta_{m,n}$ は2つあります。その1つを $\sqrt{g_{m,n}(\xi)}$ と書きます。このときもう1つは $- \sqrt{g_{m,n}(\xi)}$ です。 $f_m(\xi) + \tau(f_m(\xi))$ の方は、これ自体が $\tau$ で不変なので、どちらか一方に決まってしまいます(これを $\sqrt{g_{m,0}(\xi)$ とします)。 $f_m(\xi) - \tau(f_m(\xi))$ の方は、異なる2つの値になる可能性があります。したがって

$\LARGE f_m(\xi) + \tau(f_m(\xi)) = \sqrt{g_{m,0}(\xi)}$
$\LARGE f_m(\xi) - \tau(f_m(\xi)) = (-1)^r\sqrt{g_{m,1}(\xi)}$

となります( $r=0,1$ )。これを $f_m(\xi)$ 、 $\tau(f_m(\xi))$ について解いて

$\LARGE f_m(\xi) = \frac{\sqrt{g_{m,0}(\xi)} + (-1)^r\sqrt{g_{m,1}(\xi)}}{2}$
$\LARGE \tau(f_m(\xi)) = \frac{\sqrt{g_{m,0}(\xi)} - (-1)^r\sqrt{g_{m,1}(\xi)}}{2}$

となります。 $h_{m,r}(\xi) = \frac{\sqrt{g_{m,0}(\xi)} + (-1)^r\sqrt{g_{m,1}(\xi)}}{2}$ とおきます( $r=0,1$ )。 $f_m(\xi)$ と $\tau(f_m(\xi))$ の式より $h_{m,r}(\xi) = \tau^r(h_{m,r}(\xi))$ となります( $r=0,1,2,\cdots$ )。