エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

計算の例

\xi = \alphaとおいて計算してみます。 (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = x^3 + ax^2 + bx + c とすると
\LARGE \alpha + \beta + \gamma = -a
\LARGE \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b
\LARGE \alpha \beta \gamma = -c
となります。 \alpha を、この a、 b、 cで表します。 \sigmaを \sigma(\alpha) = \beta、 \sigma(\beta) = \gamma、 \sigma(\gamma) = \alphaとなる変換、 \tauを \tau(\alpha) = \alpha、 \tau(\beta) = \gamma、 \tau(\gamma) = \betaとなる変換とします。 \delta = \alpha + \omega \beta + \omega^2 \gamma、 \varepsilon = \alpha + \omega^2 \beta + \omega \gammaとおくと
\LARGE \alpha + \beta + \gamma = -a
\LARGE \alpha + \omega \beta + \omega^2 \gamma = \delta
\LARGE \alpha + \omega^2 \beta + \omega \gamma = \varepsilon
となります。 \sigma(\delta) = \omega \delta、 \sigma(\varepsilon) = \omega^2 \varepsilon、 \tau(\delta) = \varepsilonが成り立っています。
\LARGE \delta^3 + \varepsilon^3 = - 2a^3 + 9ab - 27c
\LARGE (\delta^3 - \varepsilon^3)^2 = 108a^3c - 27a^2b^2 - 486abc + 108b^3 + 729c^2
となります。 A = - 2a^3 + 9ab - 27cとおきます。また 108a^3c - 27a^2b^2 - 486abc + 108b^3 + 729c^2の平方根のうちの1つを \lambdaとおきます。
\LARGE \delta^3 + \varepsilon^3 = A
\LARGE \delta^3 - \varepsilon^3 = (-1)^r \lambda
となります( r=0,1)。したがって
\LARGE \delta^3 = \frac{1}{2}(A + (-1)^r \lambda)
\LARGE \varepsilon^3 = \frac{1}{2}(A - (-1)^r \lambda)
が成り立ちます。 \mu(r)を \frac{1}{2}(A + (-1)^r \lambda)の立方根のうちの1つとすると \delta = \omega^s \mu(r)となります( s=0,1,2)。ここで \varepsilonの値を決めるために \delta \varepsilonを考えます。 \sigma(\delta \varepsilon) = \delta \varepsilon、 \tau(\delta \varepsilon) = \delta \varepsilonとなるので \delta \varepsilonも a、 b、 cで表すことができます。 \delta \varepsilon = a^2 - 3bとなります。 B = a^2 - 3bとおきます。 \eta_1(r,s) = \omega^s \mu(r)、 \eta_2(r,t) = \omega^t \mu(r)とおくと( r,t=0,1,2)
\LARGE \alpha + \beta + \gamma = -a
\LARGE \alpha + \omega \beta + \omega^2 \gamma = \eta_1(r,s)
\LARGE \alpha + \omega^2 \beta + \omega \gamma = \eta_2(r,t)
となります。ここで \eta_1(r,s) \eta_2(r,t) = Bが成り立ちます。したがって
\LARGE \alpha = \frac{1}{3}(-a + \eta_1(r,s) + \eta_2(r,t))
\LARGE \beta = \frac{1}{3}(-a + \omega^2 \eta_1(r,s) + \omega \eta_2(r,t))
\LARGE \gamma = \frac{1}{3}(-a + \omega \eta_1(r,s) + \omega^2 \eta_2(r,t))
となります。