計算の例 - エレファント・ビジュアライザー調査記録

$\xi = \alpha$ とおいて計算してみます。 $(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = x^3 + ax^2 + bx + c$ とすると
$\LARGE \alpha + \beta + \gamma = -a$
$\LARGE \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b$
$\LARGE \alpha \beta \gamma = -c$
となります。 $\alpha$ を、この $a$ 、 $b$ 、 $c$ で表します。 $\sigma$ を $\sigma(\alpha) = \beta$ 、 $\sigma(\beta) = \gamma$ 、 $\sigma(\gamma) = \alpha$ となる変換、 $\tau$ を $\tau(\alpha) = \alpha$ 、 $\tau(\beta) = \gamma$ 、 $\tau(\gamma) = \beta$ となる変換とします。 $\delta = \alpha + \omega \beta + \omega^2 \gamma$ 、 $\varepsilon = \alpha + \omega^2 \beta + \omega \gamma$ とおくと
$\LARGE \alpha + \beta + \gamma = -a$
$\LARGE \alpha + \omega \beta + \omega^2 \gamma = \delta$
$\LARGE \alpha + \omega^2 \beta + \omega \gamma = \varepsilon$
となります。 $\sigma(\delta) = \omega \delta$ 、 $\sigma(\varepsilon) = \omega^2 \varepsilon$ 、 $\tau(\delta) = \varepsilon$ が成り立っています。
$\LARGE \delta^3 + \varepsilon^3 = - 2a^3 + 9ab - 27c$
$\LARGE (\delta^3 - \varepsilon^3)^2 = 108a^3c - 27a^2b^2 - 486abc + 108b^3 + 729c^2$
となります。 $A = - 2a^3 + 9ab - 27c$ とおきます。また $108a^3c - 27a^2b^2 - 486abc + 108b^3 + 729c^2$ の平方根のうちの1つを $\lambda$ とおきます。
$\LARGE \delta^3 + \varepsilon^3 = A$
$\LARGE \delta^3 - \varepsilon^3 = (-1)^r \lambda$
となります( $r=0,1$ )。したがって
$\LARGE \delta^3 = \frac{1}{2}(A + (-1)^r \lambda)$
$\LARGE \varepsilon^3 = \frac{1}{2}(A - (-1)^r \lambda)$
が成り立ちます。 $\mu(r)$ を $\frac{1}{2}(A + (-1)^r \lambda)$ の立方根のうちの1つとすると $\delta = \omega^s \mu(r)$ となります( $s=0,1,2$ )。ここで $\varepsilon$ の値を決めるために $\delta \varepsilon$ を考えます。 $\sigma(\delta \varepsilon) = \delta \varepsilon$ 、 $\tau(\delta \varepsilon) = \delta \varepsilon$ となるので $\delta \varepsilon$ も $a$ 、 $b$ 、 $c$ で表すことができます。 $\delta \varepsilon = a^2 - 3b$ となります。 $B = a^2 - 3b$ とおきます。 $\eta_1(r,s) = \omega^s \mu(r)$ 、 $\eta_2(r,t) = \omega^t \mu(r)$ とおくと( $r,t=0,1,2$ )
$\LARGE \alpha + \beta + \gamma = -a$
$\LARGE \alpha + \omega \beta + \omega^2 \gamma = \eta_1(r,s)$
$\LARGE \alpha + \omega^2 \beta + \omega \gamma = \eta_2(r,t)$
となります。ここで $\eta_1(r,s) \eta_2(r,t) = B$ が成り立ちます。したがって
$\LARGE \alpha = \frac{1}{3}(-a + \eta_1(r,s) + \eta_2(r,t))$
$\LARGE \beta = \frac{1}{3}(-a + \omega^2 \eta_1(r,s) + \omega \eta_2(r,t))$
$\LARGE \gamma = \frac{1}{3}(-a + \omega \eta_1(r,s) + \omega^2 \eta_2(r,t))$
となります。