例 - エレファント・コンピューティング調査報告

この証明は、実際に対称式を基本対称式の多項式で表す方法を示しています。
$f(x,y,z)=(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2$
を基本対称式
$a=x+y+z, b=xy+yz+zx, c=xyz$
の多項式で書いてみます。

第1段階

$f(x,y,z) = - 6x^2y^2z^2 + 2x^3y^2z + x^4y^2 + 2x^2yz^3 + 2x^3yz^2 - 2x^4yz + x^2z^4 - 2x^3z^3 + x^4z^2 + 2xy^3z^2 + 2x^2y^3z - 2x^3y^3 + 2xy^2z^3 - 2xyz^4 + y^4z^2 - 2xy^4z + x^2y^4 - 2y^3z^3 + y^2z^4$
に含まれる項の中で、定理の証明で述べた順序に関して最大の項は
$x^4y^2$
となります。
$a^{4-2}b^2 = a^2b^2 = x^4y^2 + 2x^4yz + 8x^3y^2z + x^4z^2 + 8x^3yz^2 + 15x^2y^2z^2 + 2x^3y^3 + 8x^2y^3z + 8xy^3z^2 + 2x^3z^3 + 8x^2yz^3 + 8xy^2z^3 + x^2y^4 + 2xy^4z + y^4z^2 + 2y^3z^3 + x^2z^4 + 2xyz^4 + y^2z^4$
によって変形する(両辺の差をとる)と
$f(x,y,z) = - 21x^2y^2z^2 - 6x^3y^2z - 6x^2yz^3 - 6x^3yz^2 - 4x^4yz - 4x^3z^3 - 6xy^3z^2 - 6x^2y^3z - 4x^3y^3 - 6xy^2z^3 - 4xyz^4 - 4xy^4z - 4y^3z^3 + a^2b^2$
となります。

第2段階

$f(x,y,z) = - 21x^2y^2z^2 - 6x^3y^2z - 6x^2yz^3 - 6x^3yz^2 - 4x^4yz - 4x^3z^3 - 6xy^3z^2 - 6x^2y^3z - 4x^3y^3 - 6xy^2z^3 - 4xyz^4 - 4xy^4z - 4y^3z^3 + a^2b^2$
に含まれる項の中で、定理の証明で述べた順序に関して最大の項は
$- 4x^4yz$
となります。
$-4a^{4-1}b^{1-1}c = -4a^3c = - 4x^4yz - 12x^3y^2z - 12x^3yz^2 - 12x^2y^3z - 24x^2y^2z^2 - 12x^2yz^3 - 4xy^4z - 12xy^3z^2 - 12xy^2z^3 - 4xyz^4$
によって変形する(両辺の差をとる)と
$f(x,y,z) = 3x^2y^2z^2 + 6x^3y^2z + 6x^2yz^3 + 6x^3yz^2 - 4x^3z^3 + 6xy^3z^2 + 6x^2y^3z - 4x^3y^3 + 6xy^2z^3 - 4y^3z^3 + a^2b^2 - 4a^3c$
となります。

第3段階

$f(x,y,z) = 3x^2y^2z^2 + 6x^3y^2z + 6x^2yz^3 + 6x^3yz^2 - 4x^3z^3 + 6xy^3z^2 + 6x^2y^3z - 4x^3y^3 + 6xy^2z^3 - 4y^3z^3 + a^2b^2 - 4a^3c$
に含まれる項の中で、定理の証明で述べた順序に関して最大の項は
$- 4x^3y^3$
となります。
$-4a^{3-3}b^{3-0}c^0 = -4b^3 = - 4x^3y^3 - 12x^3y^2z - 12x^2y^3z - 12x^3yz^2 - 24x^2y^2z^2 - 12xy^3z^2 - 4x^3z^3 - 12x^2yz^3 - 12xy^2z^3 - 4y^3z^3$
によって変形する(両辺の差をとる)と
$f(x,y,z) = 27x^2y^2z^2 + 18x^3y^2z + 18x^2yz^3 + 18x^3yz^2 + 18xy^3z^2 + 18x^2y^3z + 18xy^2z^3 + a^2b^2 - 4a^3c - 4b^3$
となります。

第4段階

$f(x,y,z) = 27x^2y^2z^2 + 18x^3y^2z + 18x^2yz^3 + 18x^3yz^2 + 18xy^3z^2 + 18x^2y^3z + 18xy^2z^3 + a^2b^2 - 4a^3c - 4b^3$
に含まれる項の中で、定理の証明で述べた順序に関して最大の項は
$18x^3y^2z$
となります。
$18a^{3-1}b^{2-1}c = 18abc = 18x^3y^2z + 18x^3yz^2 + 54x^2y^2z^2 + 18x^2y^3z + 18xy^3z^2 + 18x^2yz^3 + 18xy^2z^3$
によって変形する(両辺の差をとる)と
$f(x,y,z) = - 27x^2y^2z^2 + a^2b^2 - 4a^3c - 4b^3 + 18abc$
となります。

第5段階

$f(x,y,z) = - 27x^2y^2z^2 + a^2b^2 - 4a^3c - 4b^3 + 18abc$
に含まれる項の中で、定理の証明で述べた順序に関して最大の項は
$- 27x^2y^2z^2$
となります。
$-27a^{2-2}b^{2-2}c^2 = -27c^2 = - 27x^2y^2z^2$
によって変形する(両辺の差をとる)と
$f(x,y,z) = a^2b^2 - 4a^3c - 4b^3 + 18abc - 27c^2$
となります。
これで $x,y,z$ を含む項はなくなって、 $f(x,y,z)$ は基本対称式の多項式として表すことができました。