2次方程式のべき根による解法

Optimistic Mathematics のサイトでも2次方程式の解法についてここと同様のこと書いているので、同じ内容をこちらにも書いておきます。

$K$ を体とします。 $z_0$ 、 $z_1$ を変数とし、 $K$ の元を係数とする多項式全体の集合を $R = K[z_0,z_1]$ とおき、 $R$ 上の多項式 $(X - z_0)(X - z_1)$ を考えます。
$\begin{equation} a = - ( z_0 + z_1 ), \end{equation}$
$\begin{equation} b = z_0z_1 \end{equation}$
とおくと、
$\begin{equation} X^2 + aX + b = (X - z_0)(X - z_1) \end{equation}$
となります。ここで $z_0$ 、 $z_1$ を $a$ 、 $b$ を使って表すことを考えます。
$Z = \{ z_0, z_1 \}$ と置きます。 $Z$ から $Z$ への全単射の全体を $S$ とすると、 $S$ は次の表で定義される2つの元 $s_0$ 、 $s_1$ からなる集合となります ( $s_0$ は恒等写像です)。この表は、 $Z$ の元 $z_i$ の $S$ の元 $s_j$ による像 $s_j(z_i)$ を表しています。

	$s_0$	$s_1$
$z_0$	$z_0$	$z_1$
$z_1$	$z_1$	$z_0$

$S$ の元 $s_i$ と $s_j$ の合成 $s_j \circ s_i$ を、任意の $Z$ の元 $z$ に対して、 $(s_j \circ s_i)(z) = s_j(s_i( z ))$ となるものとすると、 $s_j \circ s_i$ は次の表のようになります。

	$s_0$	$s_1$
$s_0$	$s_0$	$s_1$
$s_1$	$s_1$	$s_0$

$s$ を $S$ の元とします。 $R$ の元 $r$ は、 $r = c_{00} z_{0}^{0}z_{1}^{0} + \cdots + c_{ij} z_{0}^{i}z_{1}^{j} + \cdots$ という形の有限個の和なので、 $s(r) = c_{00} s(z_0)^0s(z_1)^0 + \cdots + c_{ij} s(z_0)^is(z_1)^j + \cdots$ と定義することによって、 $s$ は $R$ から $R$ への写像と考えることができます。 $R$ から $R$ への写像 $u$ 、 $v$ に対して、 $u + v$ 、 $u - v$ 、 $uv$ 、 $u^n$ を
$(u + v)(r) = u(r) + v(r),$
$(u - v)(r) = u(r) - v(r),$
$(uv)(r) = u(r)v(r),$
$(u^n)(r) = u(r)^n$
と定義します。

$s_1 \circ s_1 = s_0$ なので
$f_1 = s_0 - ( s_1 \circ s_0 )$
とおくと、 $s_1 \circ f_1 = ( s_1 \circ s_0 ) - s_0 = - f_1$ となります。したがって、
$s_1 \circ f_1^2 = ( s_1 \circ f_1 ) ^2 = ( - f_1 ) ^2 = f_1^2$
となります。よって任意の $S$ の元 $s$ に対して $s \circ f_1^2 = f_1^2$ となります。
$X^2 + aX + b = (X - z_0)(X - z_1)$ の $X$ に $z_0$ を代入して、 $z_0^2 + az_0 + b = 0$ より
$z_0^2 = - az_0 - b$
となります。
$\begin{eqnarray*} X^2 + aX + b & = & (X - z_0)(X + z_0 + a) + z_0^2 + az_0 + b \\ & = & (X - z_0)(X + z_0 + a) \end{eqnarray*}$
なので $X + z_0 + a$ の $X$ に $z_1$ を代入して、 $z_1 + z_0 + a = 0$ より
$z_1 = - z_0 - a$
となるので、これらを代入すると、 $R$ の元 $r$ は、 $z_1$ の次数は0次、 $z_0$ の次数は1次以下にすることができます。よって、 $r = cz_0 + d$ ( $c$ 、 $d$ は、 $a$ 、 $b$ の多項式) と表すことができます。 $S$ の任意の元 $s$ に対して、 $s(r) = r$ であるとすると、 $s_1(r) = r$ であることから、 $cz_0 = cz_1$ となります。 $c$ は $z_0$ 、 $z_1$ の多項式なので、 $c$ が $0$ ではないとすると、
$cz_0$ の $z_0$ に関する次数 = $c$ の $z_0$ に関する次数 $+ 1$ 、
$cz_1$ の $z_0$ に関する次数 = $c$ の $z_0$ に関する次数、
となるので、 $cz_0 = cz_1$ が成り立たなくなります。よって、 $c = 0$ となるので、 $r$ は $a$ 、 $b$ の多項式で表すことができます。
よって任意の $R$ の元 $x$ に対して $f_1^2(x)$ は $a$ 、 $b$ の多項式で表すことができます。とくに
$\begin{eqnarray*} f_1^2(z_0) & = & ( s_0( z_0 ) - s_1(s_0( z_0 )) ) ^2 \\ & = & ( z_0 - z_1 )^2 \\ & = & z_0^2 - 2z_0z_1 + z_1^2 \\ & = & z_0^2 - 2z_0(- z_0 - a) + (- z_0 - a) ^2 \\ & = & 4z_0^2 + 4z_0a + a^2 \\ & = & 4(- az_0 - b) + 4z_0a + a^2 \\ & = & a^2 - 4b \end{eqnarray*}$
となります。

$R$ の元 $x$ に対して $y^2 = x$ を満たす $R$ の元 $y$ が存在するとき、そのようなものの1つを $x^\frac{1}{2}$ と書くことにします。すると、 $(-x^\frac{1}{2})^2 = (x^\frac{1}{2})^2 = x$ となるので、 $-x^\frac{1}{2}$ も上の条件を満たします。 $R$ の元 $z$ が $z^2 = x$ を満たすとすると、 $z^2 = (x^\frac{1}{2})^2$ となるので、 $(z - x^\frac{1}{2})(z + x^\frac{1}{2}) = 0$ となって、 $z = x^\frac{1}{2}$ または $z = -x^\frac{1}{2}$ となります。よって、 $f_1(z_0) = (a^2 - 4b)^\frac{1}{2}$ または $- (a^2 - 4b)^\frac{1}{2}$ となります。

$p = (a^2 - 4b)^\frac{1}{2}$ または $- (a^2 - 4b)^\frac{1}{2}$ とおきます。
$f_0 = s_0 + ( s_1 \circ s_0 )$
とおくと、 $f_0(z_0) = z_0 + s_1( z_0 ) = z_0 + z_1 = -a、 f_1(z_0) = z_0 - s_1( z_0 ) = p$ から
$z_0 + s_1( z_0 ) = - a$
$z_0 - s_1( z_0 ) = p$
となり、これより
$z_0 = (- a + p) / 2$
$s_1(z_0) = (- a - p) / 2$
となって、 $z_0$ 、 $s_1(z_0)$ は ( $x^\frac{1}{2}$ という記法を使えば) $a$ 、 $b$ の式で表すことができるということがわかります。

上に述べた式
$z_0 + s_1( z_0 ) = - a$
$z_0 - s_1( z_0 ) = p$
に $s_1$ を施すと
$s_1( z_0 ) + z_0 = - a$
$s_1( z_0 ) - z_0 = s_1(p)$
となるので、 $s_1(p) = - p$ であり、 $p = (a^2 - 4b)^\frac{1}{2}$ としたときの $z_0$ は $p = - (a^2 - 4b)^\frac{1}{2}$ としたときの $s_1(z_0)$ であり、 $p = (a^2 - 4b)^\frac{1}{2}$ としたときの $s_1(z_0)$ は $p = - (a^2 - 4b)^\frac{1}{2}$ としたときの $z_0$ であり、 $p = (a^2 - 4b)^\frac{1}{2}$ としても $p = - (a^2 - 4b)^\frac{1}{2}$ としても、 $z_0$ か $s_1(z_0)$ のどちらかに $z_0$ が得られるということがわかります。