対称式の基本定理(3) - エレファント・コンピューティング調査報告

対称式の基本定理・証明2・3変数の場合

今回は別のやり方で証明してみます。まずは3変数までの場合です。基本対称式の定義をもう一度書いておきます。

基本対称式

$s_{k}=\displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \ldots < i_{k} \le n}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \ldots x_{i_{k}}$

は対称式となります( $k=1,2, \ldots ,n$ )。これらの対称式を基本対称式といいます。 $n=2$ のときは $x_{1}+x_{2}$ と $x_{1}x_{2}$ が基本対称式となります。 $n=3$ のときは $x_{1}+x_{2}+x_{3}$ と $x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}$ と $x_{1}x_{2}x_{3}$ が基本対称式となります。

対称式の基本定理

[定理]

対称式は基本対称式の多項式となります。これを1変数( $x$ )の場合、2変数( $x,y$ )の場合、3変数( $x,y,z$ )の場合について順に証明します。 1変数( $x$ )の場合は、 $x$ 自身が基本対称式と考えられるので、成り立っています。

2変数( $x,y$ )の場合

この場合基本対称式は $x+y, xy$ となります。
多項式は $kx^{a}y^{b}$ という形の式の和となっています。多項式が $0$ ではないとき、この $a+b$ の最大値を多項式の次数といいます。 $0$ の次数は定義しないものとします。

[証明]

$f(x,y)$ を対称式とします。 $f(x,y)$ の次数に関する帰納法で証明します。

$f(x,y)=0$ であるか、 $f(x,y)$ の次数が $0$ (すなわち $f(x,y)$ が定数)のときは、成り立っています。

$f(x,y)$ の次数が $1$ 以上とします。 $g(x)=f(x,0)$ とおきます。多項式 $g$ は $0$ ではありません。 $h(x,y)=f(x,y)-g(x+y)$ とおくと、 $h(x,y)$ は対称式で、 $h(x,0)=0$ となります。因数定理より $h(x,y)$ は $y$ で割り切れます。 $h(x,y)$ は対称式であることから $h(x,y)$ は $xy$ で割り切れます。よって、 $h(x,y)=xyp(x,y)$ を満たす対称式 $p(x,y)$ が存在します。 $g(x+y)$ の次数は、 $g(x)$ の次数と等しく、 $g(x)=f(x,0)$ の次数は、 $f(x,y)$ の次数より小さいか、等しいので、 $h(x,y)=0$ または $h(x,y)$ の次数は、 $f(x,y)$ の次数より小さいか、等しくなります。よって $p(x,y)=0$ または $p(x,y)$ の次数は $f(x,y)$ の次数より小さくなります。帰納法の仮定により $p(x,y)$ は基本対称式の多項式となります。よって $f(x,y)=g(x+y)+xyp(x,y)$ は基本対称式の多項式となります。

[証明終わり]

3変数( $x,y,z$ )の場合

この場合基本対称式は $x+y+z, xy+yz+zx, xyz$ となります。
多項式は $kx^{a}y^{b}z^{c}$ という形の式の和となっています。多項式が $0$ ではないとき、この $a+b+c$ の最大値を多項式の次数といいます。 $0$ の次数は定義しないものとします。

[証明]

$f(x,y,z)$ を対称式とします。 $f(x,y,z)$ の次数に関する帰納法で証明します。

$f(x,y,z)=0$ であるか、 $f(x,y,z)$ の次数が $0$ (すなわち $f(x,y,z)$ が定数)のときは、成り立っています。

$f(x,y,z)$ の次数が $1$ 以上とします。 $f(x,y,0)$ は $x$ と $y$ に関する対称式となります。よって2変数の場合より $f(x,y,0)=g(x+y,xy)$ を満たす多項式 $g$ が存在します。多項式 $g$ は $0$ ではありません。 $h(x,y,z)=f(x,y,z)-g(x+y+z,xy+yz+zx)$ とおくと、 $h(x,y,z)$ は対称式で、 $h(x,y,0)=0$ となります。因数定理より $h(x,y,z)$ は $z$ で割り切れます。 $h(x,y,z)$ は対称式であることから $h(x,y,z)$ は $xyz$ で割り切れます。よって、 $h(x,y,z)=xyzp(x,y,z)$ を満たす対称式 $p(x,y,z)$ が存在します。 $g(x+y+z,xy+yz+zx)$ の次数は、 $g(x+y,xy)$ の次数と等しく、 $g(x+y,xy)=f(x,y,0)$ の次数は、 $f(x,y,z)$ の次数より小さいか、等しいので、 $h(x,y,z)=0$ または $h(x,y,z)$ の次数は、 $f(x,y,z)$ の次数より小さいか、等しくなります。よって $p(x,y,z)=0$ または $p(x,y,z)$ の次数は $f(x,y,z)$ の次数より小さくなります。帰納法の仮定により $p(x,y,z)$ は基本対称式の多項式となります。よって $f(x,y,z)=g(x+y+z,xy+yz+zx)+xyzp(x,y,z)$ は基本対称式の多項式となります。