対称式の基本定理(8) - エレファント・コンピューティング調査報告

対称式の基本定理・証明4・一般の場合

一般の場合です。

基本対称式

$s_{k}=\displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \ldots < i_{k} \le n}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \ldots x_{i_{k}}$

は対称式となります( $k=1,2, \ldots ,n$ )。これらの対称式を基本対称式といいます。 $n=2$ のときは $x_{1}+x_{2}$ と $x_{1}x_{2}$ が基本対称式となります。 $n=3$ のときは $x_{1}+x_{2}+x_{3}$ と $x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}$ と $x_{1}x_{2}x_{3}$ が基本対称式となります。

対称式の基本定理

[定理]

対称式は基本対称式の多項式となります。

[証明]

変数の個数 $n$ に関する帰納法で証明します。 1変数の場合は、その変数自身が基本対称式と考えられるので、成り立っています。

$n \ge 2$ として、 $n-1$ のときには成り立っていると仮定します。 $f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})$ を対称式とします。 $f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})$ を $x_{n}$ について整理して

$f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n}) =$
$g_{0}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})+g_{1}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})x_{n}+ \cdots +g_{m}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})x_{n}^{m}$

と書くと

$g_{0}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1}),g_{1}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1}), \cdots ,g_{m}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})$

は $x,y$ の対称式となります。よって $n-1$ 変数の場合より、

$g_{0}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1}),g_{1}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1}), \cdots ,g_{m}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})$

は $n-1$ 変数の基本対称式 $t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1}$ の多項式となります。これを

$f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n}) =$
$h_{0}(t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1})+h_{1}(t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1})x_{n}+ \cdots +h_{m}(t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1})x_{n}^{m}$

とおきます。ここで $t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1}$ は

$t_{k}=\displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k} \le n-1}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \cdots x_{i_{k}}$

です。 $t_{k}$ と $s_{k}$ の間には $x_{n}+t_{1}=s_{1}$ 、 $k=1,2, \cdots ,n-1$ のときは

$\begin{eqnarray*} t_{k}x_{n}+t_{k+1} & = & \left( \displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k} \le n-1}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \cdots x_{i_{k}} \right) x_{n} \\ & & +\left( \displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k} < i_{k+1} \le n-1}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \cdots x_{i_{k}}x_{i_{k+1}} \right) \\ & = & \left( \displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k} < i_{k+1} \le n}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \cdots x_{i_{k}}x_{i_{k+1}} \right) =s_{k+1} \end{eqnarray*}$

という関係が成り立ちます。これより $t_{1}=s_{1}-x_{n}$ 、 $t_{k+1}=s_{k+1}-t_{k}x_{n}$ となるので、これらを $f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})$ に順に代入して

$x_{n}^{n}=s_{1}x_{n}^{n-1}-s_{2}x_{n}^{n-2}+ \cdots +(-1)^{n+1}s_{n}$

によって $x_{n}$ の $n$ 次以上の項を消去すると

$f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})=$
$p_{0}(s_{1},s_{2}, \cdots ,s_{n-1})+p_{1}(s_{1},s_{2}, \cdots ,s_{n-1})x_{n}+ \cdots +p_{n-1}(s_{1},s_{2}, \cdots ,s_{n-1})x_{n}^{n-1}$

となります。

$p_{0}(s_{1},s_{2}, \cdots ,s_{n-1}),p_{1}(s_{1},s_{2}, \cdots ,s_{n-1}), \cdots ,p_{n-1}(s_{1},s_{2}, \cdots ,s_{n-1})$

は、 $s_{1},s_{2}, \cdots ,s_{n-1}$ の多項式です。 $f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})$ は対称式なので、

$f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})=$
$p_{0}(s_{1},s_{2}, \cdots ,s_{n-1})+p_{1}(s_{1},s_{2}, \cdots ,s_{n-1})x_{i}+ \cdots +p_{n-1}(s_{1},s_{2}, \cdots ,s_{n-1})x_{i}^{n-1}$

となります( $i=1,2, \cdots ,n$ )。 $n=3$ のときの証明と同様に

$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-1}\end{array} \right)$

は正則行列となります(この行列の行列式をファンデルモンドの行列式といいます)。よって

$f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})=p_{0}(s_{1},s_{2}, \cdots ,s_{n-1})$

となって、 $f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})$ は基本対称式の多項式となります。

[証明終わり]