群論の計算(1) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

『ガロア理論の頂を踏む』*1 では「一般の５次方程式が根号で解けないことをきちんと証明する」ということを目的として群論などの説明をしています。この議論の中には計算で説明できるものがあると思いますので、この本を参考にして群論の計算をやっていこうと考えています。

群の定義

集合 $G$ と $G$ 上の二項演算 $\cdot$ (乗法と呼びます)が以下の条件を満たすとき $(G, \cdot)$ を群と呼びます(または単に $G$ を群と呼びます)。通常 $x \cdot y$ を $xy$ と書きます。 $xy$ を $x$ と $y$ の積と呼びます。演算の順序を示すためにかっこ $()$ を使います。

乗法は結合法則を満たす。
- $(xy)z = x(yz) \ \ (\forall x, y, z \in G)$
以下の条件を満たすがただ一つ存在する。この元を単位元と呼ぶ。
- $ex = xe = x \ \ (\forall x \in G)$
任意のに対して以下の条件を満たすがただ一つ存在する。この元をの逆元と呼ぶ。
- $x^{-1}x = xx^{-1} = e$

乗法が可換であるとき(すなわち任意の $x, y \in G$ に対して $xy = yx$ が成り立つとき)アーベル群と呼びます。

群 $G$ の部分集合 $H$ が $G$ の演算に関して群になるとき、 $H$ は $G$ の部分群と呼び $H \le G$ と書きます。

$x \in G$ が $xx=x$ を満たすとき $x = ex = (x^{-1}x)x = x^{-1}(xx) = x^{-1}x = e$ となって $x$ は $G$ の単位元となります。 $G$ の部分群 $H$ の単位元 $x$ は $xx=x$ を満たすので $G$ の単位元と一致します。よって $e \in H$ となります。

$G$ の部分群 $H$ の元 $x$ に対して $x$ の $H$ での逆元と $G$ での逆元は一致することがわかります。

よって $G$ の部分群 $H$ は

$xy \in H \ (\forall x, y \in H)$
$x^{-1} \in H \ (\forall x \in H)$

を満たします。

逆に $G$ の空ではない部分集合 $H$ が

$xy \in H \ (\forall x, y \in H)$
$x^{-1} \in H \ (\forall x \in H)$

を満たすとき、 $H$ が群の条件を満たすので群となります。

群の部分集合の計算

群の部分集合 $S$ と $T$ に対して $ST = \{ st | s \in S, t \in T\}$ と定義します。 $S$ が1個の元からなる集合 $\{ s \}$ のときは $sT$ と書きます。 $T$ が1個の元からなる集合 $\{ t \}$ のときは $St$ と書きます。 $S$ と $T$ と $U$ を群の部分集合とすると $(ST)U = S(TU)$ が成り立つのでかっこを使わずに $STU$ と書くことができます。これは $n$ 個の場合も同様となります。 $S_1, S_2, \cdots , S_n$ を群の部分集合とするとこれらの $n$ 個の積をかっこを使わずに $S_1 S_2 \cdots S_n$ と書くことができます。この場合も1個の元からなる集合のときはその元を書いても良いということにします。全部1個の元からなる集合のときは元と区別がつかないので元の形では書かないことにします。 $S = S_1 = S_2 = \cdots = S_n$ のとき $S^n = S_1 S_2 \cdots S_n$ と書きます。

群の部分集合 $S$ に対して $S^{-1} = \{ s^{-1} | s \in S \}$ と定義します。

群 $G$ の空ではない部分集合 $H$ が部分群であることは

$H^2 \subseteq H$ かつ
$H^{-1} \subseteq H$

と同値となります。

群の元 $x$ 、 $y$ に対して $(xy)^{-1}(xy) = e$ より $y^{-1}x^{-1} = (xy)^{-1}(xy)y^{-1}x^{-1} = (xy)^{-1}$ となります。群の部分集合 $S$ 、 $T$ に対して $(ST)^{-1} = T^{-1}S^{-1}$ が成り立ちます。