エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

群論の計算(6)

交換子部分群

 G の元  x y に対して  x y の交換子を  [x, y] = x^{-1}y^{-1}xy と定義します。

 X, Y \subseteq G に対して  [X, Y] = \langle \{ [x, y] | x \in X, y \in Y \} \rangle と定義します。

 [G, G]  G の交換子部分群と呼びます。

 [ , ] という記法を交換子部分群のときに使っているので、ここでは集合の場合の記法を定義することにします。

 x, y \in G X, Y \subseteq G に対して

  •  【X, Y】 = \{ [x, y] | x \in X, y \in Y \}

と定義します。

 f: G \to H を群の準同型とします。
 x \in G y \in G に対して  f([x, y]) = f(x^{-1}y^{-1}xy) = f(x^{-1})f(y^{-1})f(x)f(y) = f(x)^{-1}f(y)^{-1}f(x)f(y) = [f(x), f(y)]
 X \subseteq G Y \subseteq G に対して  f(【X, Y】) = \{ f([x, y]) | x \in X, y \in Y \} = \{ [f(x), f(y)] | x \in X, y \in Y \} = 【f(X), f(Y)】
 U \subseteq H V \subseteq H に対して
 【f^{-1}(U), f^{-1}(V)】\subseteq f^{-1}(f(【f^{-1}(U), f^{-1}(V)】)) = f^{-1}(【f(f^{-1}(U)), f(f^{-1}(V))】) = f^{-1}(【U, V】)
が成り立ちます。

 S \subseteq G をとると  \langle S \rangle = (S \cup S^{-1}) \cup (S \cup S^{-1})^2 \cup (S \cup S^{-1})^3 \cup \cdots なので
 \begin{eqnarray*}
f(\langle S \rangle) & = & f((S \cup S^{-1}) \cup (S \cup S^{-1})^2 \cup (S \cup S^{-1})^3 \cup \cdots) \\
 & = & (f(S) \cup f(S)^{-1}) \cup (f(S) \cup f(S)^{-1})^2 \cup (f(S) \cup f(S)^{-1})^3 \cup \cdots \\
 & = & \langle f(S) \rangle
\end{eqnarray*}
が成り立ちます。

 U \subseteq H をとると
 \begin{eqnarray*}
f^{-1}(\langle U \rangle) & = & f^{-1}((U \cup U^{-1}) \cup (U \cup U^{-1})^2 \cup (U \cup U^{-1})^3 \cup \cdots) \\
 & = & (f^{-1}(U) \cup f^{-1}(U)^{-1}) \cup (f^{-1}(U) \cup f^{-1}(U)^{-1})^2 \cup (f^{-1}(U) \cup f^{-1}(U)^{-1})^3 \cup \cdots \\
 & = & \langle f^{-1}(U) \rangle
\end{eqnarray*}
が成り立ちます。

 X \subseteq G Y \subseteq G に対して  f([X, Y]) = f(\langle【X, Y】\rangle) = \langle f(【X, Y】) \rangle =  \langle【f(X), f(Y)】\rangle) = [ f(X), f(Y) ]
 U \subseteq H V \subseteq H に対して
 [ f^{-1}(U), f^{-1}(V) ] = \langle 【f^{-1}(U), f^{-1}(V)】 \rangle  \subseteq \langle f^{-1}(【U, V】 ) \rangle = f^{-1}( \langle 【U, V】 \rangle ) = f^{-1}( [ U, V ] )
が成り立ちます。

 G の部分群  H に関して以下の条件は同値となります。

 N \lhd G とすると  [ f(G), f(N) ] = f( [G, N ] ) \subseteq f(N) となるので  f(N) \lhd f(G) が成り立ちます。

 M \lhd L \le H とすると  [ f^{-1}(L), f^{-1}(M) ] \subseteq f^{-1}( [ L, M ] ) \subseteq f^{-1}(M) となるので  f^{-1}(M) \lhd f^{-1}(L) が成り立ちます。