群論の計算(6) - 非専門的シンギュラリティー研究所

交換子部分群

群 $G$ の元 $x$ と $y$ に対して $x$ と $y$ の交換子を $[x, y] = x^{-1}y^{-1}xy$ と定義します。

$X, Y \subseteq G$ に対して $[X, Y] = \langle \{ [x, y] | x \in X, y \in Y \} \rangle$ と定義します。

$[G, G]$ を $G$ の交換子部分群と呼びます。

$[ , ]$ という記法を交換子部分群のときに使っているので、ここでは集合の場合の記法を定義することにします。

$x, y \in G$ と $X, Y \subseteq G$ に対して

$【X, Y】 = \{ [x, y] | x \in X, y \in Y \}$

と定義します。

$f: G \to H$ を群の準同型とします。
$x \in G$ と $y \in G$ に対して $f([x, y]) = f(x^{-1}y^{-1}xy) = f(x^{-1})f(y^{-1})f(x)f(y) = f(x)^{-1}f(y)^{-1}f(x)f(y) = [f(x), f(y)]$
$X \subseteq G$ と $Y \subseteq G$ に対して $f(【X, Y】) = \{ f([x, y]) | x \in X, y \in Y \} = \{ [f(x), f(y)] | x \in X, y \in Y \} = 【f(X), f(Y)】$
$U \subseteq H$ と $V \subseteq H$ に対して
$【f^{-1}(U), f^{-1}(V)】\subseteq f^{-1}(f(【f^{-1}(U), f^{-1}(V)】)) = f^{-1}(【f(f^{-1}(U)), f(f^{-1}(V))】) = f^{-1}(【U, V】)$
が成り立ちます。

$S \subseteq G$ をとると $\langle S \rangle = (S \cup S^{-1}) \cup (S \cup S^{-1})^2 \cup (S \cup S^{-1})^3 \cup \cdots$ なので
$\begin{eqnarray*} f(\langle S \rangle) & = & f((S \cup S^{-1}) \cup (S \cup S^{-1})^2 \cup (S \cup S^{-1})^3 \cup \cdots) \\ & = & (f(S) \cup f(S)^{-1}) \cup (f(S) \cup f(S)^{-1})^2 \cup (f(S) \cup f(S)^{-1})^3 \cup \cdots \\ & = & \langle f(S) \rangle \end{eqnarray*}$
が成り立ちます。

$U \subseteq H$ をとると
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\langle U \rangle) & = & f^{-1}((U \cup U^{-1}) \cup (U \cup U^{-1})^2 \cup (U \cup U^{-1})^3 \cup \cdots) \\ & = & (f^{-1}(U) \cup f^{-1}(U)^{-1}) \cup (f^{-1}(U) \cup f^{-1}(U)^{-1})^2 \cup (f^{-1}(U) \cup f^{-1}(U)^{-1})^3 \cup \cdots \\ & = & \langle f^{-1}(U) \rangle \end{eqnarray*}$
が成り立ちます。

$X \subseteq G$ と $Y \subseteq G$ に対して $f([X, Y]) = f(\langle【X, Y】\rangle) = \langle f(【X, Y】) \rangle = \langle【f(X), f(Y)】\rangle) = [ f(X), f(Y) ]$
$U \subseteq H$ と $V \subseteq H$ に対して
$[ f^{-1}(U), f^{-1}(V) ] = \langle 【f^{-1}(U), f^{-1}(V)】 \rangle \subseteq \langle f^{-1}(【U, V】 ) \rangle = f^{-1}( \langle 【U, V】 \rangle ) = f^{-1}( [ U, V ] )$
が成り立ちます。