交換子部分群
群 の元 と に対して と の交換子を と定義します。
に対して と定義します。
を の交換子部分群と呼びます。
という記法を交換子部分群のときに使っているので、ここでは集合の場合の記法を定義することにします。
と に対して
と定義します。
を群の準同型とします。
と に対して
と に対して
と に対して
が成り立ちます。
をとると なので
が成り立ちます。
をとると
が成り立ちます。
と に対して
と に対して
が成り立ちます。
の部分群 に関して以下の条件は同値となります。
- は の正規部分群である。
- が成り立つ。
- が成り立つ。
とすると となるので が成り立ちます。
とすると となるので が成り立ちます。