交換子部分群
群 の元
と
に対して
と
の交換子を
と定義します。
に対して
と定義します。
を
の交換子部分群と呼びます。
という記法を交換子部分群のときに使っているので、ここでは集合の場合の記法を定義することにします。
と
に対して
と定義します。
を群の準同型とします。
と
に対して
と
に対して
と
に対して
が成り立ちます。
をとると
なので
が成り立ちます。
をとると
が成り立ちます。
と
に対して
と
に対して
が成り立ちます。
の部分群
に関して以下の条件は同値となります。
は
の正規部分群である。
が成り立つ。
が成り立つ。
とすると
となるので
が成り立ちます。
とすると
となるので
が成り立ちます。