可解群
群 の部分群の列 で
- はアーベル群 ()
という条件を満たすものがあるとき を可解群と呼びます。
群 の部分群の列 を以下のように帰納的に定義します。
この列を導来列と呼びます。
に対して
が成り立つことから、、 を群 の正規部分群とすると に対して となるので も の正規部分群となります。よって は の正規部分群となります。
のとき はアーベル群となります。 はアーベル群となります。
となる自然数 が存在するとき
は可解群を構成する部分群の列となるので は可解群となります。
逆に可解群 の部分群の列 を
- はアーベル群 ()
という条件を満たすものとすると が成り立つので となります。これを繰り返していくと が成り立ちます。よって となります。
よって が可解群ならば を満たす自然数 が存在します。
を可解群、 を群の準同型とします。 とすると となります。よって は可解群となります。
を可解群、 を の部分群とします。 とすると となります。よって は可解群となります。
を の正規部分群で可解群であるもので、 も可解群であるとします。 ( は の単位元)、 とすると となります。よって は可解群となります。