群論の計算(7) - 非専門的シンギュラリティー研究所

可解群

群 $G$ の部分群の列 $G_0, G_1, \cdots , G_n$ で

$\{ e \} = G_0 \lhd G_1 \lhd \cdots \lhd G_n = G$
$G_i / G_{i-1}$ はアーベル群 ( $i = 1, 2, \cdots , n$ )

という条件を満たすものがあるとき $G$ を可解群と呼びます。

群 $G$ の部分群の列 $G^{(0)}, G^{(1)}, G^{(2)}, \cdots$ を以下のように帰納的に定義します。

$G^{(0)} = G$
$G^{(n+1)} = [ G^{(n)} , G^{(n)} ] \ ( n = 1, 2, \cdots )$

この列を導来列と呼びます。

$x, y, z \in G$ に対して
$\begin{eqnarray*} [ x, y ] ^ z & = & z^{-1}(x^{-1}y^{-1}xy)z \\ & = & (z^{-1}x^{-1}z)(z^{-1}y^{-1}z)(z^{-1}xz)(z^{-1}yz) \\ & = & [ x^z, y^z ] \end{eqnarray*}$
が成り立つことから、 $H$ 、 $K$ を群 $G$ の正規部分群とすると $x \in G$ に対して $[ H, K ] ^ x \subseteq [ H^x, K^x ] \subseteq [ H, K ]$ となるので $[ H, K ]$ も $G$ の正規部分群となります。よって $G^{(0)}, G^{(1)}, G^{(2)}, \cdots$ は $G$ の正規部分群となります。

$G^{(1)} = \{ e \}$ のとき $G$ はアーベル群となります。 $G^{(n)} / G^{(n+1)}$ はアーベル群となります。

$G^{(n)} = \{ e \}$ となる自然数 $n$ が存在するとき

$\{ e \} = G^{(n)} \lhd G^{(n-1)} \lhd \cdots \lhd G^{(1)} \lhd G^{(0)} = G$

は可解群を構成する部分群の列となるので $G$ は可解群となります。

逆に可解群 $G$ の部分群の列 $G_0, G_1, \cdots , G_n$ を

$\{ e \} = G_0 \lhd G_1 \lhd \cdots \lhd G_n = G$
$G_i / G_{i-1}$ はアーベル群 ( $i = 1, 2, \cdots , n$ )

という条件を満たすものとすると $G_i^{(1)} \subseteq G_{i-1}$ が成り立つので $G^{(1)} = G_n^{(1)} \subseteq G_{n-1}$ となります。これを繰り返していくと $G^{(i)} \subseteq G_{n-i}$ が成り立ちます。よって $G^{(n)} \subseteq G_{0} = \{ e \}$ となります。

よって $G$ が可解群ならば $G^{(n)} = \{ e \}$ を満たす自然数 $n$ が存在します。

$G$ を可解群、 $f: G \to H$ を群の準同型とします。 $G^{(n)} = \{ e \}$ とすると $f(G)^{(n)} = \{ e \}$ となります。よって $f(G)$ は可解群となります。

$G$ を可解群、 $H$ を $G$ の部分群とします。 $G^{(n)} = \{ e \}$ とすると $H^{(n)} \subseteq G^{(n)} = \{ e \}$ となります。よって $H$ は可解群となります。

$N$ を $G$ の正規部分群で可解群であるもので、 $G/N$ も可解群であるとします。 $(G/N)^{(m)} = \{ e_{G/N} \}$ ( $e_{G/N}$ は $G/N$ の単位元)、 $N^{(n)} = \{ e \}$ とすると $G^{(m+n)} \subseteq N^{(n)} = \{ e \}$ となります。よって $G$ は可解群となります。