可解群
群 の部分群の列
で
はアーベル群 (
)
という条件を満たすものがあるとき を可解群と呼びます。
群 の部分群の列
を以下のように帰納的に定義します。
この列を導来列と呼びます。
に対して
が成り立つことから、、
を群
の正規部分群とすると
に対して
となるので
も
の正規部分群となります。よって
は
の正規部分群となります。
のとき
はアーベル群となります。
はアーベル群となります。
となる自然数
が存在するとき
は可解群を構成する部分群の列となるので は可解群となります。
逆に可解群 の部分群の列
を
はアーベル群 (
)
という条件を満たすものとすると が成り立つので
となります。これを繰り返していくと
が成り立ちます。よって
となります。
よって が可解群ならば
を満たす自然数
が存在します。
を可解群、
を群の準同型とします。
とすると
となります。よって
は可解群となります。
を可解群、
を
の部分群とします。
とすると
となります。よって
は可解群となります。
を
の正規部分群で可解群であるもので、
も可解群であるとします。
(
は
の単位元)、
とすると
となります。よって
は可解群となります。