群論の計算(8) - エレファント・コンピューティング調査報告

冪零群

中心

群 $G$ の中心を $\mathcal{Z}(G) = \{ x \in G | x^G = \{ x \} \}$ と定義します。 $f: G \to H$ を群の準同型とします。 $x \in G$ に対して $f(x)^{f(G)} = f(x^G) = f(x)$ となるので $f(\mathcal{Z}(G)) \subseteq \mathcal{Z}(f(G))$ となります。

$N \lhd G$ に対して $g: G \to f(G)/f(N)$ を $f$ と自然な準同型 $\mu: f(G) \to f(G)/f(H)$ の合成とし、 $K = \mathrm{Ker} \ f$ とおくと、 $\mathrm{Ker} \ g = KN$ となります。よって同型 $h: G/KN \to f(G)/f(N)$ が存在して、 $h(\mathcal{Z}(G/KN)) = \mathcal{Z}(f(G)/f(N))$ となります。

中心列

群 $G$ の正規部分群の列 $G_0, G_1, \cdots , G_n$ で

$\{ e \} = G_0 \lhd G_1 \lhd \cdots \lhd G_n = G$
$G_i / G_{i-1} \subseteq \mathcal{Z}(G/G_{i-1} )$ (または $[ G, G_i ] \subseteq G_{i-1}$ ) ( $i = 1, 2, \cdots , n$ )

という条件を満たすものを中心列(用語がまぎらわしいですがここでしか使わないので大丈夫ということにします)と呼びます。

降中心列

群 $G$ の部分群の列 $\mathcal{C}^1(G), \mathcal{C}^2(G), \mathcal{C}^3(G), \cdots$ を以下のように帰納的に定義します。

$\mathcal{C}^1(G) = G$
$\mathcal{C}^{n+1}(G) = [ G , \mathcal{C}^{n}(G) ] \ ( n = 1, 2, \cdots )$

この列を降中心列と呼びます。 $\mathcal{C}^1(G), \mathcal{C}^2(G), \mathcal{C}^3(G), \cdots$ は $G$ の正規部分群となります。

昇中心列

群 $G$ の部分群の列 $\mathcal{Z}^0(G), \mathcal{Z}^1(G), \mathcal{Z}^2(G), \cdots$ を以下のように帰納的に定義します。

$\mathcal{Z}^0(G) = \{ e \}$
$\mathcal{Z}^{n+1}(G)$ は $\mathcal{Z}^{n+1}(G) / \mathcal{Z}^{n}(G) = \mathcal{Z}(G/\mathcal{Z}^{n}(G))$ を満たす部分群 $( n = 1, 2, \cdots )$

この列を昇中心列と呼びます。 $\mathcal{Z}^0(G), \mathcal{Z}^1(G), \mathcal{Z}^2(G), \cdots$ は $G$ の正規部分群となります。

降中心列と中心列

$\mathcal{C}^{n}(G) = \{ e \}$ となる自然数 $n$ が存在するとき降中心列は中心列となります。

逆に群 $G$ の正規部分群の列 $G_0, G_1, \cdots , G_n$ を中心列とすると

$\{ e \} = G_0 \lhd G_1 \lhd \cdots \lhd G_n = G$
$G_i / G_{i-1} \subseteq \mathcal{Z}(G/G_{i-1} )$ (または $[ G, G_i ] \subseteq G_{i-1}$ ) ( $i = 1, 2, \cdots , n$ )

が成り立ちます。 $\mathcal{C}^2(G) = \mathcal{C}^2(G_n) \subseteq G_{n-1}$ となります。これを繰り返していくと $\mathcal{C}^i(G) \subseteq G_{n-i}$ が成り立ちます。よって $\mathcal{C}^{n+1}(G) \subseteq G_{0} = \{ e \}$ となります。

昇中心列と中心列

$\mathcal{Z}^{n}(G) = G$ となる自然数 $n$ が存在するとき昇中心列は中心列となります。

逆に群 $G$ の正規部分群の列 $G_0, G_1, \cdots , G_n$ を中心列とすると

$\{ e \} = G_0 \lhd G_1 \lhd \cdots \lhd G_n = G$
$G_i / G_{i-1} \subseteq \mathcal{Z}(G/G_{i-1} )$ (または $[ G, G_i ] \subseteq G_{i-1}$ ) ( $i = 1, 2, \cdots , n$ )

が成り立ちます。 $\mathcal{Z}^1(G) = \mathcal{Z}^1(G_0) = \mathcal{Z}(G) \supseteq G_{1}$ となります。 $\mathcal{Z}^2(G) / \mathcal{Z}^1(G) = \mathcal{Z}(G / \mathcal{Z}^1(G)) \supseteq G_{2} / \mathcal{Z}^1(G)$ より $\mathcal{Z}^2(G) \supseteq G_{2}$ となります。これを繰り返していくと $\mathcal{Z}^i(G) \supseteq G_{i}$ が成り立ちます。よって $\mathcal{Z}^{n}(G) \subseteq G_{n} = G$ となります。