体
集合 と 上の2つの二項演算、加法 と乗法 の組 が
であるとき を体と呼びます。
すなわち
- は単位元を持つ環
- はアーベル群
であるとき を体と呼びます。
通常は体というときは可換で自明ではない()ものを指します。
が体ならば は環となります。
体と極大イデアル
環 のイデアル が
- 任意の のイデアル に対して ならば または
であるとき極大イデアルと呼びます。
環 のイデアル に対して が極大イデアルであることは が体であることの必要十分条件となります。
商環
環 の部分集合 が
- ならば
であるとき積閉集合であると言います。
環 の部分集合 が積閉集合であるとき と の直積 から の冪集合 への写像 を
と定義します。 とおきます。
- となります。
- 、 とすると 、 となる が存在します。よって となります。
- 、 とすると 、 となる が存在します。 となって となります。
よって を と定義すると は同値関係となります。
であることと であることは同値となります。 ならば となるので は の分類となっています。
に加法と乗法を
と定義することができて は環となります。
[証明] まず加法が定義できることを証明します。 かつ ならば であることから の定義域の条件を満たします。
、 のとき 、 ()とすると
となって となります。よって加法が定義できます。
次に乗法が定義できることを証明します。 かつ ならば であることから の定義域の条件を満たします。
、 のとき 、 ()とすると
となって となります。よって乗法が定義できます。
がアーベル群となることは と考えると分数の加法になっていることからわかりますが、直接計算してみます。
から加法の結合法則が成り立ちます。
から加法の交換法則が成り立ちます。
から は加法の単位元となります。
から となります。よって はアーベル群となります。
が可換なモノイドとなることは と考えると分数の乗法になっていることからわかりますが、直接計算してみます。
から乗法の結合法則が成り立ちます。
から乗法の交換法則が成り立ちます。
から は乗法の単位元となります。よって は可換なモノイドとなります。
乗法が加法の上に分配的であることも と考えると分数の加法と乗法になっていることからわかりますが、直接計算してみます。
から乗法の加法に対する分配法則が成り立ちます。[証明終わり]
を商環(分数環、局所化)と呼び と書きます。、 は環の準同型となります。 を局所化の自然な写像と呼びます。