群論の計算(11) - 非専門的シンギュラリティー研究所

体

集合 $K$ と $K$ 上の2つの二項演算、加法 $+: K \times K \to K$ と乗法 $\cdot: K \times K \to K$ の組 $(K, + , \cdot)$ が

$(K, +)$ はアーベル群(単位元 $0$ )
$(K, \cdot)$ は可換なモノイド(単位元 $1$ )で $K \setminus \{ 0\}$ はアーベル群
乗法は加法の上に分配的、すなわち
- $x(y + z) = xy + xz \ (\forall x, y, z \in R)$

であるとき $(K, + , \cdot)$ を体と呼びます。

すなわち

$(K, +, \cdot)$ は単位元を持つ環
$(K, \cdot)$ はアーベル群

であるとき $(K, + , \cdot)$ を体と呼びます。

通常は体というときは可換で自明ではない( $0 \ne 1$ )ものを指します。

$(K, + , \cdot)$ が体ならば $(K, + , \cdot)$ は環となります。

有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ 、実数全体の集合 $\mathbb{R}$ 、複素数全体の集合 $\mathbb{C}$ は体となります。

整域と素イデアル

環 $R$ が任意の $x, y \in R$ に対して $xy= 0$ ならば $x = 0$ または $y = 0$ であるとき整域と呼びます。

体は整域となります。

整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ は加法と乗法に関して整域となります。

環 $R$ のイデアル $I \ne 0$ が

任意の $x, y \in R$ に対して $xy \in I$ ならば $x \in I$ または $y \in I$

であるとき素イデアルと呼びます。

環 $R$ のイデアル $I$ に対して $I$ が素イデアルであることは $R/I$ が整域であることの必要十分条件となります。

体と極大イデアル

環 $R$ のイデアル $I \ne 0$ が

任意の $R$ のイデアル $J$ に対して $I \subseteq J$ ならば $I = J$ または $J = R$

であるとき極大イデアルと呼びます。

環 $R$ のイデアル $I$ に対して $I$ が極大イデアルであることは $R/I$ が体であることの必要十分条件となります。

極大イデアルは素イデアルとなります。

商環

環 $R$ の部分集合 $S$ が

$1 \in S$
$0 \not \in S$
$x, y \in S$ ならば $xy \in S$

であるとき積閉集合であると言います。

環 $R$ の部分集合 $S$ が積閉集合であるとき $R$ と $S$ の直積 $R \times S$ から $R \times S$ の冪集合 $P(R \times S)$ への写像 $f: R \times S \to P(R \times S)$ を

$f(x, y) = \{ (x', y') | s(xy'-x'y) = 0 となる s \in S が存在する \}$

と定義します。 $Q = f(R \times S)$ とおきます。

$(x, y) \in f(x, y)$ となります。
$(x_2, y_2) \in f(x_1, y_1)$ 、 $(x_3, y_3) \in f(x_2, y_2)$ とすると $s(x_1y_2-x_2y_1) = 0$ 、 $t(x_2y_3-x_3y_2) = 0$ となる $s, t \in S$ が存在します。よって $(x_1, y_1) \in f(x_2, y_2)$ となります。
$(x_2, y_2) \in f(x_1, y_1)$ 、 $(x_3, y_3) \in f(x_2, y_2)$ とすると $s(x_1y_2-x_2y_1) = 0$ 、 $t(x_2y_3-x_3y_2) = 0$ となる $s, t \in S$ が存在します。 $sty_2(x_1y_3-x_3y_1) = sty_2x_1y_3-sty_2x_3y_1 = stx_2y_1y_3-stx_2y_2y_1 = 0$ となって $(x_3, y_3) \in f(x_1, y_1)$ となります。

よって $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2)$ を $(x_2, y_2) \in f(x_1, y_1)$ と定義すると $\sim$ は同値関係となります。

$(x_2, y_2) \in f(x_1, y_1)$ であることと $f(x_2, y_2) = f(x_1, y_1)$ であることは同値となります。 $(x_3, y_3) \in f(x_1, y_1) \cap f(x_2, y_2)$ ならば $f(x_1, y_1) = f(x_3, y_3) = f(x_2, y_2)$ となるので $Q$ は $R \times S$ の分類となっています。

$Q$ に加法と乗法を

$f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2) = f(x_1y_2 + x_2y_1, y_1y_2)$
$f(x_1, y_1) f(x_2, y_2) = f(x_1x_2, y_1y_2)$

と定義することができて $Q$ は環となります。

[証明] まず加法が定義できることを証明します。 $y_1 \in S$ かつ $y_2 \in S$ ならば $y_1y_2 \in S$ であることから $f$ の定義域の条件を満たします。

$f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2)$ 、 $f(c_1, d_1) = f(c_2, d_2)$ のとき $s(a_2b_1-a_1b_2) = 0$ 、 $t(c_2d_1-c_1d_2) = 0$ ( $s, t \in S$ )とすると
$\begin{eqnarray*} & & st( (a_1d_1+b_1c_1)b_2d_2 - b_1d_1(a_2d_2+b_2c_2)) \\ & = & st(a_1d_1b_2d_2+b_1c_1b_2d_2 - b_1d_1(a_2d_2+b_2c_2)) \\ & = & st(a_2d_1b_1d_2+b_1c_2b_2d_1 - b_1d_1(a_2d_2+b_2c_2)) = 0 \end{eqnarray*}$
となって $f(a_1d_1+b_1c_1, b_1d_1) = f(a_2d_2+b_2c_2, b_2d_2)$ となります。よって加法が定義できます。

次に乗法が定義できることを証明します。 $y_1 \in S$ かつ $y_2 \in S$ ならば $y_1y_2 \in S$ であることから $f$ の定義域の条件を満たします。

$f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2)$ 、 $f(c_1, d_1) = f(c_2, d_2)$ のとき $s(a_2b_1-a_1b_2) = 0$ 、 $t(c_2d_1-c_1d_2) = 0$ ( $s, t \in S$ )とすると
$st(a_1c_1b_2d_2 - a_2c_2b_1d_1) = st(a_2c_2b_1d_1 - a_2c_2b_1d_1) = 0$
となって $f(a_1c_1, b_1d_1) = f(a_2c_2, b_2d_2)$ となります。よって乗法が定義できます。

$(Q, +)$ がアーベル群となることは $f(a, b) = \frac{a}{b}$ と考えると分数の加法になっていることからわかりますが、直接計算してみます。
$\begin{eqnarray*} & & (f(a_1, b_1) + f(a_2, b_2)) + f(a_3, b_3) \\ & = & f(a_1b_2 + a_2b_1, b_1b_2) + f(a_3, b_3) \\ & = & f(a_1b_2b_3 + a_2b_1b_3 + a_3b_1b_2, b_1b_2b_3), \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} & & f(a_1, b_1) + (f(a_2, b_2) + f(a_3, b_3)) \\ & = & f(a_1, b_1) + f(a_2b_3 + a_3b_2, b_2b_3) \\ & = & f(a_1b_2b_3 + a_2b_1b_3 + a_3b_1b_2, b_1b_2b_3) \end{eqnarray*}$
から加法の結合法則が成り立ちます。
$f(a_1, b_1) + f(a_2, b_2) = f(a_1b_2 + a_2b_1, b_1b_2) = f(a_2b_1 + a_1b_2, b_2b_1) = f(a_2, b_2) + f(a_1, b_1)$
から加法の交換法則が成り立ちます。
$f(0, b_1) + f(a_2, b_2) = f(a_2b_1, b_1b_2) = f(a_2, b_2)$
から $f(0, b_1)$ は加法の単位元となります。
$f(a_1, b_1) + f(-a_1, b_1) = f(a_1b_1 - a_1b_1, b_1b_1) = f(0, b_1b_1) = f(0, b_1)$
から $-f(a_1, b_1) = f(-a_1, b_1)$ となります。よって $(Q, +)$ はアーベル群となります。

$(Q, \cdot)$ が可換なモノイドとなることは $f(a, b) = \frac{a}{b}$ と考えると分数の乗法になっていることからわかりますが、直接計算してみます。
$(f(a_1, b_1) f(a_2, b_2)) f(a_3, b_3) = f(a_1a_2, b_1b_2) f(a_3, b_3) = f(a_1a_2a_3, b_1b_2b_3)$
$f(a_1, b_1) (f(a_2, b_2) f(a_3, b_3)) = f(a_1, b_1) f(a_2a_3, b_2b_3) = f(a_1a_2a_3, b_1b_2b_3)$
から乗法の結合法則が成り立ちます。
$f(a_1, b_1) f(a_2, b_2) = f(a_1a_2, b_1b_2) = f(a_2a_1, b_2b_1) = f(a_2, b_2) f(a_1, b_1)$
から乗法の交換法則が成り立ちます。
$f(1, 1) + f(a_2, b_2) = f(a_2, b_2)$
から $f(1, 1)$ は乗法の単位元となります。よって $(Q, \cdot)$ は可換なモノイドとなります。

乗法が加法の上に分配的であることも $f(a, b) = \frac{a}{b}$ と考えると分数の加法と乗法になっていることからわかりますが、直接計算してみます。
$\begin{eqnarray*} (f(a_1, b_1) + f(a_2, b_2)) f(c, d) & = & f(a_1b_2 + a_2b_1, b_1b_2) f(c, d) \\ & = & f(a_1b_2c + a_2b_1c, b_1b_2d), \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(a_1, b_1)f(c, d) + f(a_2, b_2)f(c, d) & = & f(a_1c, b_1d) + f(a_2c, b_2d) \\ & = & f(a_1b_2cd + a_2b_1cd, b_1b_2d^2) \\ & = & f(a_1b_2c + a_2b_1c, b_1b_2d) \end{eqnarray*}$
から乗法の加法に対する分配法則が成り立ちます。[証明終わり]

$Q$ を商環(分数環、局所化)と呼び $S^{-1}R$ と書きます。 $g: R \to Q$ 、 $g(x) = f(x, 1)$ は環の準同型となります。 $g$ を局所化の自然な写像と呼びます。

商体

整域 $R$ に対して $S = R \setminus \{ 0 \}$ は積閉集合となるので商環 $K= S^{-1}R$ を定義することができます。 $K$ は体となります。

[証明] $K$ は商環なので環となります。よって $(S, \cdot)$ がアーベル群( $0$ 以外の元の乗法の逆元が存在する)ならば体となります。
$f(0, b_1)$ は加法の単位元だったので $f(a_1, b_1)$ が加法の単位元でなければ $a_1 \ne 0$ となって $a_1 \in S$ となります。よって $f(b_1, a_1)$ が存在します。
$f(a_1, b_1) f(b_1, a_1) = f(a_1b_1, b_1a_1) = f(1, 1)$
から $f(a_1, b_1)^{-1} = f(b_1, a_1)$ となります。
よって $(K, \cdot)$ はアーベル群となります。[証明終わり]