複素数(2)
『新版 集合と位相 そのまま使える答えの書き方 (KS理工学専門書)』*1 を参考にしています。
実数の上限・下限
に対して
- 任意の に対して
であるような を の下界と呼びます。 の下界が存在するとき は下に有界であると言います。
に対して
- は の下界で
- 任意の の下界 に対して
であるような を の下限または最大下界と呼びます。 が下限を持てば一意的となります。 の下限を と書きます。
実数のコーシー列が極限を持つことから以下の主張が成り立ちます。
任意の空ではない に対して が下に有界ならば の下限が存在します。
[証明] の下界 と をとります。数列 、、 を次のように作ります。まず 、 とおきます。 とおきます。
が の下界であるとき 、 とおきます。
が の下界ではないとき 、 とおきます。
これを繰り返して とおきます。
が の下界であるとき 、、
が の下界ではないとき 、
と帰納的に定義します。
はコーシー列なので が存在して となります。任意の に対して となる が存在します。
が の下界ではないと仮定すると となる が存在します。 となる が存在します。 は の下界ですが なので の下界ではないとなって矛盾となります。よって は の下界となります。
が の下限ではないと仮定すると となる の下界 が存在します。 となる が存在します。 は の下界ではないのですが なので の下界となって矛盾となります。よって は の下限となります。 [証明終わり]
同様に順序を逆にした上界、上に有界、上限も定義します。上に有界かつ下に有界であるとき有界であると言います。
任意の空ではない に対して が上に有界ならば の上限が存在します。
開集合・閉集合
を距離空間、 を 上の距離とします。正の実数全体の集合を とおきます。
と に対して を
とおきます。
が
- 任意の に対して が存在して
であるとき は の開集合と呼びます。 の開集合全体の集合を と書くことにします。
が が開集合であるとき は の閉集合と呼びます。 の閉集合全体の集合を と書くことにします。
が を満たす と が存在するとき は有界であると言います。
を距離空間、 を閉集合とします。 に含まれる点列 が に収束すれば( となる が存在すれば)、 となります。
[証明] と仮定すると が閉集合であるから となる が存在します。 であることから となる が存在します。 となって に反することになります。よって が成り立ちます。 [証明終わり]
点列コンパクト
を距離空間とします。 に含まれる任意の点列 が収束する部分列を持つとき、 は点列コンパクトであると言います。
を距離空間とします。 が点列コンパクトであれば は有界となります。
[証明] が有界ではないと仮定します。 が存在して、任意の に対して となる が存在します。 は収束する部分列を持たないので は点列コンパクトではありません。よって が点列コンパクトであれば は有界となります。 [証明終わり]
を距離空間、 は点列コンパクトとします。 を閉集合とすると は点列コンパクトとなります。
[証明] を に含まれる点列とします。 は に含まれて は点列コンパクトなので、ある に収束する部分列 が存在します。 は閉集合なので となります。よって は点列コンパクトとなります。 [証明終わり]
を有界閉集合とすると、 は点列コンパクトとなります。
[証明] まず に対して
が点列コンパクトとなることを示します。
を に含まれる点列とします。 とします。 と で4つに分割すると、どれか1つには無限個の が含まれます。それを とします。これを繰り返して という部分集合の列を作ります。 に含まれる元で部分列 を作ることができます。 はコーシー列となるので となる が存在します。 は閉集合なので となります。よって は点列コンパクトとなります。
は有界なので と が存在して となります。 とすると とおくと となります。上に書いたことから は点列コンパクトであり、 は閉集合なので は点列コンパクトとなります。[証明終わり]
最大値定理
、 を距離空間、 を連続写像とします。 を の収束する点列で とすると、 となります。
[証明] をとります。 とおきます。 が連続であることから は開集合となります。 なので となる が存在します。 なので となる が存在します。 となるので となります。 [証明終わり]
、 を距離空間、 を点列コンパクト、 を連続写像とすると、 は点列コンパクトとなります。
[証明] を の点列とします。 の点列 で任意の に対して であるものが存在します。 は点列コンパクトなので の収束する部分列 が存在します。 は の部分列となります。 が連続であることから となります。よって は点列コンパクトとなります。 [証明終わり]
を距離空間、 を点列コンパクトである空ではない部分集合、 を連続写像とすると、 の最大値、最小値が存在します。
[証明] は点列コンパクトとなります。よって は上に有界となって、実数の性質から上限 が存在します。
任意の に対して となります。
よって点列 を任意の に対して となるように定義することができます。
は で となります。
は点列コンパクトであるので の部分列 が存在して となる が存在します。 となるので は の最大値となります。
同様に最小値も存在します。 [証明終わり]