群論の計算(15) - エレファント・コンピューティング調査報告

複素数(2)

『新版集合と位相そのまま使える答えの書き方 (KS理工学専門書)』*1 を参考にしています。

実数の上限・下限

$A \subseteq \mathbb{R}$ に対して

任意の $x \in A$ に対して $a \le x$

であるような $a \in \mathbb{R}$ を $A$ の下界と呼びます。 $A$ の下界が存在するとき $A$ は下に有界であると言います。

$A \subseteq \mathbb{R}$ に対して

$a \in \mathbb{R}$ は $A$ の下界で
任意の $A$ の下界 $x$ に対して $x \le a$

であるような $a \in \mathbb{R}$ を $A$ の下限または最大下界と呼びます。 $A$ が下限を持てば一意的となります。 $A$ の下限を $\inf A$ と書きます。

実数のコーシー列が極限を持つことから以下の主張が成り立ちます。

任意の空ではない $A \subseteq \mathbb{R}$ に対して $A$ が下に有界ならば $A$ の下限が存在します。

[証明] $A$ の下界 $a$ と $b \in A$ をとります。数列 $a_1, a_2, \cdots$ 、 $b_1, b_2, \cdots$ 、 $c_1, c_2, \cdots$ を次のように作ります。まず $a_0 = a$ 、 $b_0 = b$ とおきます。 $c_1 = \cfrac{a_0+b_0}{2}$ とおきます。
$c_1$ が $A$ の下界であるとき $a_1 = c_1$ 、 $b_1 = b_0$ とおきます。
$c_1$ が $A$ の下界ではないとき $a_1 = a_0$ 、 $b_1 = c_1$ とおきます。
これを繰り返して $c_{k+1} = \cfrac{a_k+b_k}{2}$ とおきます。
$c_{k+1}$ が $A$ の下界であるとき $a_{k+1} = c_{k+1}$ 、 $b_{k+1} = b_k$ 、
$c_{k+1}$ が $A$ の下界ではないとき $a_{k+1} = a_k$ 、 $b_{k+1} = c_{k+1}$
と帰納的に定義します。
$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ はコーシー列なので $\alpha \in \mathbb{R}$ が存在して $\alpha = {\lim}_\mathbb{R} (a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ となります。任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して $a_n, b_n \in U_\mathbb{R}(\alpha, \varepsilon)$ となる $n \in \mathbb{N}$ が存在します。

$\alpha$ が $A$ の下界ではないと仮定すると $x \lt \alpha$ となる $x \in A$ が存在します。 $a_n \in U_\mathbb{R}(\alpha, \alpha - x)$ となる $n \in \mathbb{N}$ が存在します。 $a_n$ は $A$ の下界ですが $x \lt a_n$ なので $A$ の下界ではないとなって矛盾となります。よって $\alpha$ は $A$ の下界となります。

$\alpha$ が $A$ の下限ではないと仮定すると $\alpha \lt y$ となる $A$ の下界 $y$ が存在します。 $b_n \in U_\mathbb{R}(\alpha, y - \alpha)$ となる $n \in \mathbb{N}$ が存在します。 $b_n$ は $A$ の下界ではないのですが $b_n \lt y$ なので $A$ の下界となって矛盾となります。よって $\alpha$ は $A$ の下限となります。 [証明終わり]

同様に順序を逆にした上界、上に有界、上限も定義します。上に有界かつ下に有界であるとき有界であると言います。

任意の空ではない $A \subseteq \mathbb{R}$ に対して $A$ が上に有界ならば $A$ の上限が存在します。

距離空間

集合 $X$ と写像 $d: X \times X \to \mathbb{R}$ が

$d(x, y) \ge 0 \ \ (\forall x, y \in X)$
$d(x, y) = 0 \iff x = y \ \ (\forall x, y \in X)$
$d(x, y) = d(y, x) \ \ (\forall x, y \in X)$
$d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z) \ \ (\forall x, y, z \in X)$ (三角不等式)

を満たすとき $X$ を距離空間と言います。 $d$ を $X$ 上の距離と言います。

実数の距離 $d_\mathbb{R}: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $d_\mathbb{R}(x, y) = |x - y|$ と定義します。 $\mathbb{R}$ は距離空間となります。

複素数の距離 $d_\mathbb{C}: \mathbb{C} \times \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ を $d_\mathbb{C}(x, y) = |x - y|$ と定義します。 $\mathbb{C}$ は距離空間となります。

開集合・閉集合

$X$ を距離空間、 $d_X: X \times X \to \mathbb{R}$ を $X$ 上の距離とします。正の実数全体の集合を $\mathbb{R}^+$ とおきます。

$a \in X$ と $\varepsilon \in \mathbb{R}^+$ に対して $U_X(a, \varepsilon) \subseteq X$ を

$U_X(a, \varepsilon) = \{ x \in X \ | \ d_X(a, x) \lt \varepsilon \}$

とおきます。

$U \subseteq X$ が

任意の $x \in U$ に対して $\varepsilon \in \mathbb{R}^+$ が存在して $U_X(x, \varepsilon) \subseteq U$

であるときは $X$ の開集合と呼びます。 $X$ の開集合全体の集合を $\mathcal{U}(X)$ と書くことにします。

$U \subseteq X$ が $X \setminus U$ が開集合であるときは $X$ の閉集合と呼びます。 $X$ の閉集合全体の集合を $\mathcal{C}(X)$ と書くことにします。

$A \subseteq X$ が $A \subseteq U_X(a, \varepsilon)$ を満たす $a$ と $\varepsilon$ が存在するとき $A$ は有界であると言います。

$X$ を距離空間、 $A \subseteq X$ を閉集合とします。 $A$ に含まれる点列 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ が $a$ に収束すれば( $\lim (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = a$ となる $a$ が存在すれば)、 $a \in A$ となります。

[証明] $a \not \in A$ と仮定すると $A$ が閉集合であるから $A \cap U_X(a, \varepsilon) = \varnothing$ となる $\varnothing \gt 0$ が存在します。 $\lim (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = a$ であることから $a_n \in U_X(a, \varepsilon)$ となる $n$ が存在します。 $a_n \in A \cap U_X(a, \varepsilon)$ となって $A \cap U_X(a, \varepsilon) = \varnothing$ に反することになります。よって $a \in A$ が成り立ちます。 [証明終わり]

連続写像

集合 $X$ と $Y$ が $X$ の開集合全体の集合 $\mathcal{U}(X)$ と $Y$ の開集合全体の集合 $\mathcal{U}(Y)$ が定義されているものとします。
写像 $f: X \to Y$ が

$U \in \mathcal{U}(Y)$ ならば $f^{-1}(U) \in \mathcal{U}(X)$

であるとき連続写像と言います。

$A \subseteq X$ に対して $A$ の開集合全体の集合を $\mathcal{U}(A) = \{ U \cap A \ | \ U \in \mathcal{U}(X) \}$ とします。

点列コンパクト

$X$ を距離空間とします。 $A \subseteq X$ に含まれる任意の点列 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ が収束する部分列を持つとき、 $A$ は点列コンパクトであると言います。

$X$ を距離空間とします。 $A \subseteq X$ が点列コンパクトであれば $A$ は有界となります。

[証明] $A$ が有界ではないと仮定します。 $a \in A$ が存在して、任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して $a_n \not \in U_X(a, n)$ となる $a_n \in A$ が存在します。 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ は収束する部分列を持たないので $A$ は点列コンパクトではありません。よって $A$ が点列コンパクトであれば $A$ は有界となります。 [証明終わり]

$X$ を距離空間、 $A \subseteq X$ は点列コンパクトとします。 $B \subseteq A$ を閉集合とすると $B$ は点列コンパクトとなります。

[証明] $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を $B$ に含まれる点列とします。 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ は $A$ に含まれて $A$ は点列コンパクトなので、ある $a \in A$ に収束する部分列 $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ が存在します。 $B$ は閉集合なので $a \in B$ となります。よって $B$ は点列コンパクトとなります。 [証明終わり]

$A \subseteq \mathbb{C}$ を有界閉集合とすると、 $A$ は点列コンパクトとなります。

[証明] まず $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ に対して
$B = \{ x + yi \ | \ a \le x \le b, c \le y \le d \}$
が点列コンパクトとなることを示します。
$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を $A$ に含まれる点列とします。 $B_0 = B$ とします。 $x = \cfrac{a+b}{2}$ と $y = \cfrac{c+d}{2}$ で4つに分割すると、どれか1つには無限個の $a_n$ が含まれます。それを $B_1$ とします。これを繰り返して $B=B_0 \supseteq B_1 \supseteq B_1 \supseteq \cdots$ という部分集合の列を作ります。 $B_0 \setminus B_1, B_1 \setminus B_2, B_2 \setminus B_3, \cdots$ に含まれる元で部分列 $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を作ることができます。 $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ はコーシー列となるので $a = \lim (b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ となる $a$ が存在します。 $B$ は閉集合なので $a \in B$ となります。よって $B$ は点列コンパクトとなります。

$A$ は有界なので $c \in \mathbb{C}$ と $r \gt 0$ が存在して $A \subseteq U_\mathbb{C}(c, r)$ となります。 $c = u + vi \ (u, v \in \mathbb{R})$ とすると $C = \{ x + yi \ | \ u - r \le x \le u + r, v - r \le y \le v + r \}$ とおくと $U_\mathbb{C}(c, r) \subseteq C$ となります。上に書いたことから $C$ は点列コンパクトであり、 $A$ は閉集合なので $A$ は点列コンパクトとなります。[証明終わり]

最大値定理

$X$ 、 $Y$ を距離空間、 $f: X \to Y$ を連続写像とします。 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を $X$ の収束する点列で $a = \lim (a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ とすると、 $f(a) = \lim (f(a_n))_{n \in \mathbb{N}}$ となります。

[証明] $\varepsilon \gt 0$ をとります。 $U = f^{-1}(U_Y(f(a), \varepsilon))$ とおきます。 $f$ が連続であることから $U$ は開集合となります。 $a \in U$ なので $U_X(a, \delta) \subseteq U$ となる $\delta \gt 0$ が存在します。 $a = \lim (a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ なので $a_n \in U_X(a, \delta)$ となる $n \in \mathbb{N}$ が存在します。 $f(a_n) \in f(U_X(a, \delta)) \subseteq f(U) \subseteq U_Y(a, \varepsilon)$ となるので $f(a) = \lim (f(a_n))_{n \in \mathbb{N}}$ となります。 [証明終わり]

$X$ 、 $Y$ を距離空間、 $A \subseteq X$ を点列コンパクト、 $f: A \to Y$ を連続写像とすると、 $f(A)$ は点列コンパクトとなります。

[証明] $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を $f(A)$ の点列とします。 $A$ の点列 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ で任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して $y_n = f(a_n)$ であるものが存在します。 $A$ は点列コンパクトなので $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ の収束する部分列 $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ が存在します。 $(f(b_n))_{n \in \mathbb{N}}$ は $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ の部分列となります。 $f$ が連続であることから $\lim (f(b_n))_{n \in \mathbb{N}} = f(\lim (b_n)_{n \in \mathbb{N}})$ となります。よって $f(A)$ は点列コンパクトとなります。 [証明終わり]

$X$ を距離空間、 $A \subseteq X$ を点列コンパクトである空ではない部分集合、 $f: A \to \mathbb{R}$ を連続写像とすると、 $f(A)$ の最大値、最小値が存在します。

[証明] $f(A)$ は点列コンパクトとなります。よって $f(A)$ は上に有界となって、実数の性質から上限 $a = \sup f(A)$ が存在します。
任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して $f(A) \cap U_\mathbb{R}(a, \varepsilon) \ne \varnothing$ となります。
よって点列 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して $a_n \in f(A) \cap U_\mathbb{R}(a, \cfrac{1}{n})$ となるように定義することができます。
$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{R}$ で ${\lim}_\mathbb{R} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = a$ となります。
$f(A)$ は点列コンパクトであるので $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ の部分列 $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ が存在して ${\lim}_\mathbb{R} (b_n)_{n \in \mathbb{N}} = b$ となる $b \in f(A)$ が存在します。 $a = b$ となるので $a$ は $f(A)$ の最大値となります。
同様に最小値も存在します。 [証明終わり]