群論の計算(19) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

体上の多項式環(2)

既約多項式(1)

$K$ を体とします。 $f \in K [X]$ が

$f \not \in K$
任意の $g, h \in K [X]$ に対して $f = gh$ ならば $g \in K$ または $h \in K$

であるとき $K$ 内で既約であると言います。

$f \in K [X]$ に対して、 $f$ で生成された(単項生成)イデアル $K [X] f = \{ gf \ | \ g \in K [X] \}$ を、 $(f)$ と表すことがあります。

$K$ を体とします。 $f \in K [X]$ が $K$ 内で既約ならば $(f)$ は $K [X]$ の極大イデアルとなります。

[証明] $I$ を $K [X]$ のイデアルで $(f) \subseteq I$ であるものとします。 $K [X]$ のイデアルは単項生成なので $I = (g)$ となる $g \in K [X]$ が存在します。 $(f) \subseteq (g)$ となり $f = gh$ となる $h \in K [X]$ が存在します。 $f$ は既約なので $g \in K$ または $h \in K$ となります。 $f \not \in K$ だから $g \not \in K$ であるので $h \in K$ となります。よって $g \in (f)$ となって $(f) = (g) = I$ となります。[証明終わり]

したがって $f \in K [X]$ が $K$ 内で既約ならば $K [X] / (f)$ は体となります。

$K$ を体、 $f \in K [X]$ とします。 $(f)$ が $K [X]$ の極大イデアルならば、 $f$ は $K$ 内で既約となります。

[証明] $g, h \in K [X]$ 、 $f = gh$ 、 $g \not \in K$ とします。 $(f) = (gh) \subseteq (g)$ であり $(f)$ は極大イデアルなので $g \not \in K$ であることから $(f) = (gh) = (g)$ となります。よって $g \in (gh)$ となって $g = ghk$ となる $k \in K [ X ]$ が存在します。 $K [X]$ は整域なので $hk \in K$ 、よって $h \in K$ となります。[証明終わり]

クロネッカーの分解定理

$f = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0 \in K [X]$ が $K$ 内で既約とすると $K [X] / (f)$ は体となります。

$\varphi : K \to K[X]$ を $a \in K$ に $a \in K[X]$ を対応させる写像( $a \in K[X]$ とは $X^0$ の項だけの多項式 $g=aX^0$ )、 $\psi : K[X] \to K[X]/(f)$ を $g \in K[X]$ に $g + (f) \in K[X]/(f)$ を対応させる写像とすると、 $\varphi$ 、 $\psi$ は環の準同型となります。 $\eta = \psi \circ \varphi : K \to K[X]/(f)$ は $a \in K$ に $g + (f) \in K[X]/(f)$ を対応させる写像となって単射の環の準同型となります。これは体から体への写像なので単射の体の準同型となります。

$g \in K [X]$ に対して $\sigma_{\psi(g)} : K[X] \to K[X]/(f)$ を、 $h = b_m X^m + b_{m-1} X^{m-1} + \cdots + b_1 X + b_0 \in K [X]$ に対して
$\begin{eqnarray*} \sigma_{\psi(g)} (h) & = & \eta(b_m) \psi(g)^m + \eta(b_{m-1}) \psi(g)^{m-1} + \cdots + \eta(b_1) \psi(g) + \eta(b_0) \\ & = & \psi ( \varphi(b_m) g^m + \varphi(b_{m-1}) g^{m-1} + \cdots + \varphi(b_1) g + \varphi(b_0) ) \\ & = & \psi ( b_m g^m + b_{m-1} g^{m-1} + \cdots + b_1 g + b_0 ) \end{eqnarray*}$
と定義します。これを $h(\psi(g))$ と書くことにします。
$g = X \in K[X]$ に対して $\alpha = \psi(g) = \psi(X)$ とおくと
$\begin{eqnarray*} f(\alpha) & = & \sigma_{\alpha} (f) \\ & = & \psi ( a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0 ) \\ & = & \psi(f) = f + (f) = (f) \end{eqnarray*}$
となります。 $\eta : K \to K' = K[X]/(f)$ によって $K \subseteq K'$ と考えると $f(\alpha) = 0$ となる $\alpha \in K'$ が存在します。 $K'$ の中で $q = q(f, X - \alpha)$ 、 $r = r(f, X - \alpha)$ を作ります。 $r \in K'$ 、 $f = (X -\alpha)q + r$ から $r = f(\alpha) = 0$ となって $f = (X -\alpha)q$ となります。

$f \in K [X]$ が $K$ 内で既約ではないとすると $f = gh$ となる $g, h \in K [X]$ が存在します( $g \ne 0, \deg g \le 1, h \ne 0, \deg h \le 1$ )。これを繰り返すと $f = f_1 f_2 \cdots f_m$ となる $f_1, f_2, \cdots, f_m \in K [X]$ が存在します(各 $f_i$ は既約で $f_i \ne 0, \deg f_i \le 1$ )。 $f_1, f_2, \cdots, f_m$ の中で $\deg f_i \le 2$ であるものを(並べ替えて) $f_1, f_2, \cdots, f_n$ とします。 $f = f_1 f_2 \cdots f_n (X - a_1) (X - a_2) \cdots (X - a_l)$ と表せます。 $f' = f_1 f_2 \cdots f_n$ とおきます。 $f_1, f_2, \cdots, f_n$ の中の1つを $g$ とします。 $g$ に対して上の議論より $K \subseteq K'$ となる体 $K'$ と $\alpha \in K'$ が存在して $f(\alpha) = 0$ 、 $g = (X - \alpha)q$ となります( $q = q(g, X-\alpha)$ )。 $f' = f_1 f_2 \cdots f_n$ の中から $g$ を除いたものを $f''$ とおくと $f '= f'' (X - \alpha)q$ となります。 $\deg f'$ に関する帰納法により $K \subseteq K''$ となる体 $K''$ が存在して $K''$ 内で $f = a (X - a_1) (X - a_2) \cdots (X - a_r)$ となります( $a, a_1, a_2, \cdots , a_r \in K''$ )。両辺の次数を比較すると $r = \deg f$ となります。