エレファント・ビジュアライザー調査記録

ビジュアルプログラミングで数式の変形を表すことを考えていくブロクです。

群論の計算(21)

体上の多項式環(4)

一意分解整域上の多項式環

 R を環とします。 p \in R R の素元であれば、 p多項式環  R[X] の素元となります。

[証明]  f = a_n X^n + \cdots + a_0 \in R[X] g = b_m X^m + \cdots + b_0 \in R[X] fg \in p R[X] とします。

 n + m = 0 のとき  fg = a_0  b_0 \in p R[X] となって  a_0  b_0 \in p R となります。 p は素元なので  f = a_0  \in p R または  g = b_0  \in p R となります。よって  f \in p R[X] または  g \in p R[X] となります。

 n + m - 1 のとき成り立っていると仮定します。 fg = a_n b_m X^{n+m} + \cdots + a_0 b_0 \in p R[X] より  a_n b_m \in p R となり  a_n \in p R または  b_m \in p R となります。 a_n \in p R のとき  h = f - a_n X^n とおくと  hg = fg - a_n X^n g \in p R[X] となって帰納法の仮定より  h \in p R[X] または  g \in p R[X] となります。 h \in p R[X] のときは  f = h + a_n X^n \in p R[X] となります。 b_m \in p R のときも同様となります。[証明終わり]

 R の元  a, b a \in (b) であるとき  b | a と表します。

 R を一意分解整域とします。

 a_1, a_2, \cdots , a_n \in R \ (n \ge 1) に対して以下の条件を満たす  d \in R が存在します。

  • 任意の自然数  i に対して  1 \le i \le n ならば  d | a_i となります。
  • 任意の  d' \in R は、以下の条件を満たすならば  d' | d となります。
    • 任意の自然数  i に対して  1 \le i \le n ならば  d' | a_i である。

[証明]  R の1つの元で生成される素イデアル全体の集合を  \Pi とおきます。 \Pi = \{ (p) \ | \ p \in R, (p) は R の素イデアル \} となります。 R は一意分解整域なので  (a_i) = P_{i1} P_{i2} \cdots P_{im_i} \Pi の元の有限個の積で書けます。よって  P \in \Pi に対して  (a_i) \subseteq P^{e_{P,i}} となる最大の  e_{P,i} が存在します。 e_{P,i} P = P_{ij} となる  P_{ij} の個数となります。 \{ e_{P,1}, e_{P,2}, \cdots , e_{P,n} \} の最小値を  e_P とおきます。 \Pi の部分集合  \{ P_{11},  P_{12},  \cdots,  P_{1m_1} \} \cup \cdots \cup \{ P_{n1},  P_{n2},  \cdots,  P_{nm_n} \}  k 個の異なる元からなるとして、これを  \Pi' = \{ P_1,  P_2,  \cdots,  P_k \} とおきます。 p_j \in P_j \setminus R^\times をとって  d = p_1^{e_{P_1}} p_2^{e_{P_2}} \cdots p_k^{e_{P_k}} とおきます。 P_j^{e_{P_j,i}} \subseteq P_j^{e_{P_j}} が成り立つので  (a_i) = P_1^{e_{P_1,i}} \cdots P_k^{e_{P_k,i}} \subseteq P_1^{e_{P_1}} \cdots P_k^{e_{P_k}} = (d) となります。

任意の  i に対して  (a_i) \subseteq (d') とします。 (d') = Q_1 Q_2 \cdots Q_l と表したときの  Q_1, Q_2, \cdots , Q_l \Pi' に付け加えたものを  \Pi'' として  \Pi'' に対して上記の議論をするものとします。 (d') = P_1^{f_{1}} \cdots P_k^{f_{k}} とします。 P_1^{e_{P_1,i}} \cdots P_k^{e_{P_k,i}} \subseteq P_1^{f_{1}} \cdots P_k^{f_{k}} \subseteq P_j^{f_{j}} となります。 P_i \subseteq P_j ならば  P_i = P_j となりますが  P_j^{f_{j}} は素イデアルなので  P_j^{e_{P_j,i}} \subseteq P_j^{f_{j}} となって  f_j \le e_{P_j,i} となります。よって  f_j \le e_{P_j} となって  (d) = P_1^{e_{P_1}} \cdots P_k^{e_{P_k}} \subseteq P_1^{f_{1}} \cdots P_k^{f_{k}} = (d') となります。[証明終わり]

このような  d は、単元の違いを除いて  a_1, a_2, \cdots , a_n に対して一意的に決まります( d' もこの条件を満たす元とすると  (d) = (d') となります)。 d a_1, a_2, \cdots , a_n の最大公約元と呼び、 \operatorname {GCD} (a_1, a_2, \cdots , a_n) と書きます。

 d = \operatorname {GCD} (a_1, a_2, \cdots , a_n) とすると  d = p_1^{e_{1}} p_2^{e_{2}} \cdots p_{\lambda}^{e_{\lambda}} 、ここで  p_1, p_2, \cdots , p_\lambda は積に現れる素元の全体、 a_i = p_1^{e_{1,i}} \cdots p_\lambda^{e_{\lambda,i}} \displaystyle e_\mu = \min_{i} \{ e_{\mu,i} \} となります。

 \alpha = p_1^{\xi_{1}} p_2^{\xi_{2}} \cdots p_\lambda^{\xi_{\lambda}} \in R x = \operatorname {GCD} (\alpha a_1, \alpha a_2, \cdots , \alpha a_n) とすると  x = p_1^{s_{1}} p_2^{s_{2}} \cdots p_\lambda^{s_{\lambda}}  \alpha a_i = p_1^{s_{1,i}} \cdots p_\lambda^{s_{\lambda,i}} \displaystyle s_\mu = \min_i \{ s_{\mu,i} \} となります。 s_{\mu,i} = e_{\mu,i} + \xi_{\mu} より  \displaystyle s_\mu = \min_i \{ s_{\mu,i} \} = \min_i \{ e_{\mu,i} \} + \xi_{\mu} = e_{\mu} + \xi_{\mu} となり  y = \alpha d となります。

 \alpha = p_1^{\xi_{1}} p_2^{\xi_{2}} \cdots p_\lambda^{\xi_{\lambda}} \in R \alpha | a_i \ (\forall i) y = \operatorname {GCD} (\frac{a_1}{\alpha}, \frac{a_2}{\alpha}, \cdots , \frac{a_n}{\alpha}) とすると  y = p_1^{t_{1}} p_2^{t_{2}} \cdots p_\lambda^{t_{\lambda}}  \frac{a_i}{\alpha} = p_1^{t_{1,i}} \cdots p_\lambda^{t_{\lambda,i}} \displaystyle t_\mu = \min_i \{ t_{\mu,i} \} となります。 t_{\mu,i} = e_{\mu,i} - \xi_{\mu} より  \displaystyle t_\mu = \min_i \{ t_{\mu,i} \} = \min_i \{ e_{\mu,i} \} - \xi_{\mu} = e_{\mu} - \xi_{\mu} となり  y = \frac{d}{\alpha} となります。

 f = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n \in R[X] \ (f \ne 0) \operatorname {GCD} (a_0, a_1, \cdots , a_n) = 1 であるとき原始的であると言います。

 f = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n \in R[X] \ (f \ne 0) \operatorname {GCD} (a_0, a_1, \cdots , a_n) = c とすると、 g = \cfrac{f}{c} \in R[X] は原始的となります。

 f, g \in R[X] とします。 f g が原始的ならば  fg も原始的となります。

[証明]  f, g \in R[X] f g は原始的とします。 p R の素元とすると、 (p) = p R[X] R[X] の素イデアルとなります。 f g は原始的であるので  f \notin (p) かつ  g \notin (p) となって、 fg \notin (p) となります。よって  fg は原始的となります。[証明終わり]

 K R の商体、 f, g \in R[X] f は原始的とします。 K[X] 内で  f | g ならば  R[X] 内でも  f | g となります。

[証明]  f, g \in R[X] f は原始的、 K[X] 内で  f | g とします。 g = fh となる  h \in K[X] が存在します。 h の係数の分母の最小公倍元(分母全部の積でもよい)を  a \in R とすると  h = \cfrac{h'}{a} ( h' \in R[X] ) と表すことができます。 h' の係数の最大公約元を  d \in R とおくと  h'' = \cfrac{h'}{d} ( h'' \in R[X]  h'' は原始的) となります。 ag = dfh'' となって  fh'' は原始的であるから  fh'' は原始的となります。 \psi = ag = dfh'' とおくと  \psi \in R[X] であり、 \psi の係数の最大公約元を  \alpha とすると  (\alpha) = (a) = (d) となります。よって  g \in (fh'') \subseteq f R[X] となります。[証明終わり]

原始多項式  f \in R[X] K 内で既約ならば  f R[X] の素元となります。

 R が一意分解整域ならば多項式環  R[X] も一意分解整域となります。

[証明]
 R の商体  K は体なので  K[X] は一意分解整域となります。よって  f \in R[X] とすると  f = p_1 p_2 \cdots p_n となる素元  p_i \in K[X] が存在します。 a_i \in R p_i の係数の分母の最小公倍元(または分母全部の積としてもよい)とすると  a_i p_i \in R[X] となります。 a_i p_i の係数の最大公約元を  d_i とおくと  q_i = \cfrac{a_i p_i}{d_i} \in R[X] は原始的となります。 f の係数の最大公約元を  c とおくと  f' = \cfrac{f}{c} \in R[X] は原始的となります。 \alpha = a_1 a_2 \cdots a_n \beta = d_1 d_2 \cdots d_n とおくと  \alpha c f' = \beta q_1 q_2 \cdots q_n となって  f' q_1 q_2 \cdots q_n は原始的なので  f' R[X] = q_1 q_2 \cdots q_n R[X] となり、 f R[X] = c q_1 q_2 \cdots q_n R[X] となります。

 q_i K[X] = \cfrac{a_i p_i}{d_i} K[X] なので  q_i K[X] K[X] の素イデアルとなり、上の定理より  q_i R[X] R[X] の素イデアルとなります。 R が一意分解整域なので  c R[X] は素イデアルの積に分解できます。よって  f R[X] は素イデアルの積に分解できます。[証明終わり]

 \mathbb{Z} [ X_1, X_2, \cdots , X_n ] は一意分解整域となります。

 K 上の多項式環  K [ X_1, X_2, \cdots , X_n ] は一意分解整域となります。

アイゼンシュタインの既約判定法

 R を一意分解整域、 K R の商体とします。 a_0, a_1, \cdots , a_n \in R ( n \gt 0)と素元  p \in R

  •  0 \le i \le n-1 である任意の  i に対して  p \ | \ a_i
  •  p \! \not | \ a_n
  •  p^2 \! \not | \ a_0

ならば、 f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+ \cdots +a_{1}X+a_{0} \in R [X]  K 内で既約となります。

[証明]  f = gh g, h \in K[X] とします。 g' = rg \in R[X] h' = sh \in R[X] となる  r, s \in R が存在します。 t = rs とおくと  tf = g'h' となります。 R が一意分解整域であることから  tR は1つの素元で生成された素イデアルの有限個の積で表せます。その1つを  qR とすると  q R[X]  R[X] の素イデアルとなるので、 g' \in q R[X] または  h' \in q R[X] が成り立ちます。よって両辺を  q で割ると  t'f = g''h'' という形にすることができます。これを繰り返すと  f = uv ( u, v \in R[X] )とすることができます。

 u=b_{k}X^{k}+b_{k-1}X^{k-1}+ \cdots +b_{1}X+b_{0} \in R [X]  v=c_{l}X^{l}+c_{l-1}X^{l-1}+ \cdots +c_{1}X+c_{0} \in R [X] ( b_{k} \ne 0 c_{l} \ne 0 b_{k'} = 0 \ (k' \gt k) c_{l'} = 0 \ (l' \gt l)) とします。 a_{0} = b_{0} c_{0} \in (p) \setminus (p^2) より「 b_{0} \in (p) かつ  c_{0} \notin (p)」または「 c_{0} \in (p) かつ  b_{0} \notin (p)」となります。

 b_{0} \in (p) かつ  c_{0} \notin (p) とします。 b_{0}, b_{1}, \cdots , b_{m} \in (p) と仮定します。 b_{m+1} c_{0} + b_{m} c_{1} + \cdots + b_{1} c_{m} + b_{0} c_{m+1} = a_{m+1} \in (p) となるので  b_{m+1} \in (p) となります。帰納法によって  b_{k} \in (p) となりますが、 a_{n} = b_{k} c_{l} \notin (p) より  b_{k} \notin (p) かつ  c_{l} \notin (p) であるので矛盾が生じます。

 c_{0} \in (p) かつ  b_{0} \notin (p) としても同様となります。よって  f K 内で既約となります。[証明終わり]

 R \mathbb{Z} とすると以下の命題が成り立ちます。

整数  a_0, a_1, \cdots , a_n素数  p

  •  0 \le i \le n-1 ならば  a_i p で割り切れる
  •  a_n p で割り切れない
  •  a_0 p^2 で割り切れない

ならば、 f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dotsb +a_{1}X+a_{0} \in \mathbb {Z} [X]  \mathbb {Q} 内で既約となります。

整数  a素数  p

  •  a p で割り切れる
  •  a p^2 で割り切れない

ならば、任意の  1 以上の自然数  n に対して  X^{n} - a \in \mathbb {Z} [X]  \mathbb {Q} 内で既約となります。