群論の計算(21) - エレファント・コンピューティング調査報告

体上の多項式環(4)

一意分解整域上の多項式環

$R$ を環とします。 $p \in R$ が $R$ の素元であれば、 $p$ は多項式環 $R[X]$ の素元となります。

[証明] $f = a_n X^n + \cdots + a_0 \in R[X]$ 、 $g = b_m X^m + \cdots + b_0 \in R[X]$ 、 $fg \in p R[X]$ とします。

$n + m = 0$ のとき $fg = a_0 b_0 \in p R[X]$ となって $a_0 b_0 \in p R$ となります。 $p$ は素元なので $f = a_0 \in p R$ または $g = b_0 \in p R$ となります。よって $f \in p R[X]$ または $g \in p R[X]$ となります。

$n + m - 1$ のとき成り立っていると仮定します。 $fg = a_n b_m X^{n+m} + \cdots + a_0 b_0 \in p R[X]$ より $a_n b_m \in p R$ となり $a_n \in p R$ または $b_m \in p R$ となります。 $a_n \in p R$ のとき $h = f - a_n X^n$ とおくと $hg = fg - a_n X^n g \in p R[X]$ となって帰納法の仮定より $h \in p R[X]$ または $g \in p R[X]$ となります。 $h \in p R[X]$ のときは $f = h + a_n X^n \in p R[X]$ となります。 $b_m \in p R$ のときも同様となります。[証明終わり]

環 $R$ の元 $a, b$ が $a \in (b)$ であるとき $b | a$ と表します。

$R$ を一意分解整域とします。

$a_1, a_2, \cdots , a_n \in R \ (n \ge 1)$ に対して以下の条件を満たす $d \in R$ が存在します。

任意の自然数 $i$ に対して $1 \le i \le n$ ならば $d | a_i$ となります。
任意のは、以下の条件を満たすならばとなります。
- 任意の自然数 $i$ に対して $1 \le i \le n$ ならば $d' | a_i$ である。

[証明] $R$ の1つの元で生成される素イデアル全体の集合を $\Pi$ とおきます。 $\Pi = \{ (p) \ | \ p \in R, (p) は R の素イデアル \}$ となります。 $R$ は一意分解整域なので $(a_i) = P_{i1} P_{i2} \cdots P_{im_i}$ と $\Pi$ の元の有限個の積で書けます。よって $P \in \Pi$ に対して $(a_i) \subseteq P^{e_{P,i}}$ となる最大の $e_{P,i}$ が存在します。 $e_{P,i}$ は $P = P_{ij}$ となる $P_{ij}$ の個数となります。 $\{ e_{P,1}, e_{P,2}, \cdots , e_{P,n} \}$ の最小値を $e_P$ とおきます。 $\Pi$ の部分集合 $\{ P_{11}, P_{12}, \cdots, P_{1m_1} \} \cup \cdots \cup \{ P_{n1}, P_{n2}, \cdots, P_{nm_n} \}$ は $k$ 個の異なる元からなるとして、これを $\Pi' = \{ P_1, P_2, \cdots, P_k \}$ とおきます。 $p_j \in P_j \setminus R^\times$ をとって $d = p_1^{e_{P_1}} p_2^{e_{P_2}} \cdots p_k^{e_{P_k}}$ とおきます。 $P_j^{e_{P_j,i}} \subseteq P_j^{e_{P_j}}$ が成り立つので $(a_i) = P_1^{e_{P_1,i}} \cdots P_k^{e_{P_k,i}} \subseteq P_1^{e_{P_1}} \cdots P_k^{e_{P_k}} = (d)$ となります。

任意の $i$ に対して $(a_i) \subseteq (d')$ とします。 $(d') = Q_1 Q_2 \cdots Q_l$ と表したときの $Q_1, Q_2, \cdots , Q_l$ を $\Pi'$ に付け加えたものを $\Pi''$ として $\Pi''$ に対して上記の議論をするものとします。 $(d') = P_1^{f_{1}} \cdots P_k^{f_{k}}$ とします。 $P_1^{e_{P_1,i}} \cdots P_k^{e_{P_k,i}} \subseteq P_1^{f_{1}} \cdots P_k^{f_{k}} \subseteq P_j^{f_{j}}$ となります。 $P_i \subseteq P_j$ ならば $P_i = P_j$ となりますが $P_j^{f_{j}}$ は素イデアルなので $P_j^{e_{P_j,i}} \subseteq P_j^{f_{j}}$ となって $f_j \le e_{P_j,i}$ となります。よって $f_j \le e_{P_j}$ となって $(d) = P_1^{e_{P_1}} \cdots P_k^{e_{P_k}} \subseteq P_1^{f_{1}} \cdots P_k^{f_{k}} = (d')$ となります。[証明終わり]

このような $d$ は、単元の違いを除いて $a_1, a_2, \cdots , a_n$ に対して一意的に決まります( $d'$ もこの条件を満たす元とすると $(d) = (d')$ となります)。 $d$ を $a_1, a_2, \cdots , a_n$ の最大公約元と呼び、 $\operatorname {GCD} (a_1, a_2, \cdots , a_n)$ と書きます。

$d = \operatorname {GCD} (a_1, a_2, \cdots , a_n)$ とすると $d = p_1^{e_{1}} p_2^{e_{2}} \cdots p_{\lambda}^{e_{\lambda}}$ 、ここで $p_1, p_2, \cdots , p_\lambda$ は積に現れる素元の全体、 $a_i = p_1^{e_{1,i}} \cdots p_\lambda^{e_{\lambda,i}}$ 、 $\displaystyle e_\mu = \min_{i} \{ e_{\mu,i} \}$ となります。

$\alpha = p_1^{\xi_{1}} p_2^{\xi_{2}} \cdots p_\lambda^{\xi_{\lambda}} \in R$ 、 $x = \operatorname {GCD} (\alpha a_1, \alpha a_2, \cdots , \alpha a_n)$ とすると $x = p_1^{s_{1}} p_2^{s_{2}} \cdots p_\lambda^{s_{\lambda}}$ 、 $\alpha a_i = p_1^{s_{1,i}} \cdots p_\lambda^{s_{\lambda,i}}$ 、 $\displaystyle s_\mu = \min_i \{ s_{\mu,i} \}$ となります。 $s_{\mu,i} = e_{\mu,i} + \xi_{\mu}$ より $\displaystyle s_\mu = \min_i \{ s_{\mu,i} \} = \min_i \{ e_{\mu,i} \} + \xi_{\mu} = e_{\mu} + \xi_{\mu}$ となり $y = \alpha d$ となります。

$\alpha = p_1^{\xi_{1}} p_2^{\xi_{2}} \cdots p_\lambda^{\xi_{\lambda}} \in R$ 、 $\alpha | a_i \ (\forall i)$ 、 $y = \operatorname {GCD} (\frac{a_1}{\alpha}, \frac{a_2}{\alpha}, \cdots , \frac{a_n}{\alpha})$ とすると $y = p_1^{t_{1}} p_2^{t_{2}} \cdots p_\lambda^{t_{\lambda}}$ 、 $\frac{a_i}{\alpha} = p_1^{t_{1,i}} \cdots p_\lambda^{t_{\lambda,i}}$ 、 $\displaystyle t_\mu = \min_i \{ t_{\mu,i} \}$ となります。 $t_{\mu,i} = e_{\mu,i} - \xi_{\mu}$ より $\displaystyle t_\mu = \min_i \{ t_{\mu,i} \} = \min_i \{ e_{\mu,i} \} - \xi_{\mu} = e_{\mu} - \xi_{\mu}$ となり $y = \frac{d}{\alpha}$ となります。

$f = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n \in R[X] \ (f \ne 0)$ は $\operatorname {GCD} (a_0, a_1, \cdots , a_n) = 1$ であるとき原始的であると言います。

$f = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n \in R[X] \ (f \ne 0)$ 、 $\operatorname {GCD} (a_0, a_1, \cdots , a_n) = c$ とすると、 $g = \cfrac{f}{c} \in R[X]$ は原始的となります。

$f, g \in R[X]$ とします。 $f$ と $g$ が原始的ならば $fg$ も原始的となります。

[証明] $f, g \in R[X]$ 、 $f$ と $g$ は原始的とします。 $p$ を $R$ の素元とすると、 $(p) = p R[X]$ は $R[X]$ の素イデアルとなります。 $f$ と $g$ は原始的であるので $f \notin (p)$ かつ $g \notin (p)$ となって、 $fg \notin (p)$ となります。よって $fg$ は原始的となります。[証明終わり]

$K$ を $R$ の商体、 $f, g \in R[X]$ 、 $f$ は原始的とします。 $K[X]$ 内で $f | g$ ならば $R[X]$ 内でも $f | g$ となります。

[証明] $f, g \in R[X]$ 、 $f$ は原始的、 $K[X]$ 内で $f | g$ とします。 $g = fh$ となる $h \in K[X]$ が存在します。 $h$ の係数の分母の最小公倍元(分母全部の積でもよい)を $a \in R$ とすると $h = \cfrac{h'}{a}$ ( $h' \in R[X]$ ) と表すことができます。 $h'$ の係数の最大公約元を $d \in R$ とおくと $h'' = \cfrac{h'}{d}$ ( $h'' \in R[X]$ 、 $h''$ は原始的) となります。 $ag = dfh''$ となって $f$ と $h''$ は原始的であるから $fh''$ は原始的となります。 $\psi = ag = dfh''$ とおくと $\psi \in R[X]$ であり、 $\psi$ の係数の最大公約元を $\alpha$ とすると $(\alpha) = (a) = (d)$ となります。よって $g \in (fh'') \subseteq f R[X]$ となります。[証明終わり]

原始多項式 $f \in R[X]$ が $K$ 内で既約ならば $f$ は $R[X]$ の素元となります。

$R$ が一意分解整域ならば多項式環 $R[X]$ も一意分解整域となります。

[証明]
$R$ の商体 $K$ は体なので $K[X]$ は一意分解整域となります。よって $f \in R[X]$ とすると $f = p_1 p_2 \cdots p_n$ となる素元 $p_i \in K[X]$ が存在します。 $a_i \in R$ を $p_i$ の係数の分母の最小公倍元(または分母全部の積としてもよい)とすると $a_i p_i \in R[X]$ となります。 $a_i p_i$ の係数の最大公約元を $d_i$ とおくと $q_i = \cfrac{a_i p_i}{d_i} \in R[X]$ は原始的となります。 $f$ の係数の最大公約元を $c$ とおくと $f' = \cfrac{f}{c} \in R[X]$ は原始的となります。 $\alpha = a_1 a_2 \cdots a_n$ 、 $\beta = d_1 d_2 \cdots d_n$ とおくと $\alpha c f' = \beta q_1 q_2 \cdots q_n$ となって $f'$ と $q_1 q_2 \cdots q_n$ は原始的なので $f' R[X] = q_1 q_2 \cdots q_n R[X]$ となり、 $f R[X] = c q_1 q_2 \cdots q_n R[X]$ となります。

$q_i K[X] = \cfrac{a_i p_i}{d_i} K[X]$ なので $q_i K[X]$ は $K[X]$ の素イデアルとなり、上の定理より $q_i R[X]$ は $R[X]$ の素イデアルとなります。 $R$ が一意分解整域なので $c R[X]$ は素イデアルの積に分解できます。よって $f R[X]$ は素イデアルの積に分解できます。[証明終わり]

$\mathbb{Z} [ X_1, X_2, \cdots , X_n ]$ は一意分解整域となります。

体 $K$ 上の多項式環 $K [ X_1, X_2, \cdots , X_n ]$ は一意分解整域となります。

アイゼンシュタインの既約判定法

$R$ を一意分解整域、 $K$ を $R$ の商体とします。 $a_0, a_1, \cdots , a_n \in R$ ( $n \gt 0$ )と素元 $p \in R$ が

$0 \le i \le n-1$ である任意の $i$ に対して $p \ | \ a_i$
$p \! \not | \ a_n$
$p^2 \! \not | \ a_0$

ならば、 $f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+ \cdots +a_{1}X+a_{0} \in R [X]$ は $K$ 内で既約となります。

[証明] $f = gh$ 、 $g, h \in K[X]$ とします。 $g' = rg \in R[X]$ 、 $h' = sh \in R[X]$ となる $r, s \in R$ が存在します。 $t = rs$ とおくと $tf = g'h'$ となります。 $R$ が一意分解整域であることから $tR$ は1つの素元で生成された素イデアルの有限個の積で表せます。その1つを $qR$ とすると $q R[X]$ は $R[X]$ の素イデアルとなるので、 $g' \in q R[X]$ または $h' \in q R[X]$ が成り立ちます。よって両辺を $q$ で割ると $t'f = g''h''$ という形にすることができます。これを繰り返すと $f = uv$ ( $u, v \in R[X]$ )とすることができます。

$u=b_{k}X^{k}+b_{k-1}X^{k-1}+ \cdots +b_{1}X+b_{0} \in R [X]$ 、 $v=c_{l}X^{l}+c_{l-1}X^{l-1}+ \cdots +c_{1}X+c_{0} \in R [X]$ ( $b_{k} \ne 0$ 、 $c_{l} \ne 0$ 、 $b_{k'} = 0 \ (k' \gt k)$ 、 $c_{l'} = 0 \ (l' \gt l)$ ) とします。 $a_{0} = b_{0} c_{0} \in (p) \setminus (p^2)$ より「 $b_{0} \in (p)$ かつ $c_{0} \notin (p)$ 」または「 $c_{0} \in (p)$ かつ $b_{0} \notin (p)$ 」となります。

$b_{0} \in (p)$ かつ $c_{0} \notin (p)$ とします。 $b_{0}, b_{1}, \cdots , b_{m} \in (p)$ と仮定します。 $b_{m+1} c_{0} + b_{m} c_{1} + \cdots + b_{1} c_{m} + b_{0} c_{m+1} = a_{m+1} \in (p)$ となるので $b_{m+1} \in (p)$ となります。帰納法によって $b_{k} \in (p)$ となりますが、 $a_{n} = b_{k} c_{l} \notin (p)$ より $b_{k} \notin (p)$ かつ $c_{l} \notin (p)$ であるので矛盾が生じます。