体上の多項式環(4)
一意分解整域上の多項式環
を環とします。 が の素元であれば、 は多項式環 の素元となります。
[証明] 、、 とします。
のとき となって となります。 は素元なので または となります。よって または となります。
のとき成り立っていると仮定します。 より となり または となります。 のとき とおくと となって帰納法の仮定より または となります。 のときは となります。 のときも同様となります。[証明終わり]
環 の元 が であるとき と表します。
を一意分解整域とします。
に対して以下の条件を満たす が存在します。
[証明] の1つの元で生成される素イデアル全体の集合を とおきます。 となります。 は一意分解整域なので と の元の有限個の積で書けます。よって に対して となる最大の が存在します。 は となる の個数となります。 の最小値を とおきます。 の部分集合 は 個の異なる元からなるとして、これを とおきます。 をとって とおきます。 が成り立つので となります。
任意の に対して とします。 と表したときの を に付け加えたものを として に対して上記の議論をするものとします。 とします。 となります。 ならば となりますが は素イデアルなので となって となります。よって となって となります。[証明終わり]
このような は、単元の違いを除いて に対して一意的に決まります( もこの条件を満たす元とすると となります)。 を の最大公約元と呼び、 と書きます。
とすると 、ここで は積に現れる素元の全体、、 となります。
、 とすると 、、 となります。 より となり となります。
、、 とすると 、、 となります。 より となり となります。
は であるとき原始的であると言います。
、 とすると、 は原始的となります。
とします。 と が原始的ならば も原始的となります。
[証明] 、 と は原始的とします。 を の素元とすると、 は の素イデアルとなります。 と は原始的であるので かつ となって、 となります。よって は原始的となります。[証明終わり]
を の商体、、 は原始的とします。 内で ならば 内でも となります。
[証明] 、 は原始的、 内で とします。 となる が存在します。 の係数の分母の最小公倍元(分母全部の積でもよい)を とすると () と表すことができます。 の係数の最大公約元を とおくと (、 は原始的) となります。 となって と は原始的であるから は原始的となります。 とおくと であり、 の係数の最大公約元を とすると となります。よって となります。[証明終わり]
原始多項式 が 内で既約ならば は の素元となります。
が一意分解整域ならば多項式環 も一意分解整域となります。
[証明]
の商体 は体なので は一意分解整域となります。よって とすると となる素元 が存在します。 を の係数の分母の最小公倍元(または分母全部の積としてもよい)とすると となります。 の係数の最大公約元を とおくと は原始的となります。 の係数の最大公約元を とおくと は原始的となります。、 とおくと となって と は原始的なので となり、 となります。
なので は の素イデアルとなり、上の定理より は の素イデアルとなります。 が一意分解整域なので は素イデアルの積に分解できます。よって は素イデアルの積に分解できます。[証明終わり]
は一意分解整域となります。
体 上の多項式環 は一意分解整域となります。
アイゼンシュタインの既約判定法
を一意分解整域、 を の商体とします。 ()と素元 が
- である任意の に対して
ならば、 は 内で既約となります。
[証明] 、 とします。、 となる が存在します。 とおくと となります。 が一意分解整域であることから は1つの素元で生成された素イデアルの有限個の積で表せます。その1つを とすると は の素イデアルとなるので、 または が成り立ちます。よって両辺を で割ると という形にすることができます。これを繰り返すと ()とすることができます。
、 (、、、) とします。 より「 かつ 」または「 かつ 」となります。
かつ とします。 と仮定します。 となるので となります。帰納法によって となりますが、 より かつ であるので矛盾が生じます。
かつ としても同様となります。よって は 内で既約となります。[証明終わり]
を とすると以下の命題が成り立ちます。
整数 と素数 が
- ならば は で割り切れる
- は で割り切れない
- は で割り切れない
ならば、 は 内で既約となります。
整数 と素数 が
- は で割り切れる
- は で割り切れない
ならば、任意の 以上の自然数 に対して は 内で既約となります。