対称式の基本定理
個の変数
に関する
次の基本対称式
を以下のように帰納的に定義します。
(
)
(
、
)
となります。
変数の対称式全体の集合を
、
変数の基本対称式からなる多項式全体の集合を
とおきます。
を整域とします。
とし(
は異なる元)、
を
の置換全体の集合とします。
を
上の多項式環
とします。
は
の元を係数として
を不定元とする多項式環
と考えることができ、これによって
となります。
の元は
加群の自己同型
と考えることができます。
とおきます。
の元
と
を含む
の最小の部分環を
と書くことにします。
とおきます。
となることを証明します。
[証明] とすると
、
と書けます。
に対して
となります。
となります。
は一意的に決まるので
となります。よって
となります。[証明終わり]
[証明] とおきます。
となります。
とおくと
の
に関する次数は
以下となります。
となるので
となります。
とすると
、
と書けます。
のとき
となって という形に書くことができます。これを繰り返すと
となります。[証明終わり]
[証明] と
を入れ替えることにより
が成り立ちます。
という行列 の行列式
をヴァンデルモンドの行列式と呼びます。
となります。
がすべて異なるとき
となり
の商体で
の逆行列
が存在します。
であるから
となって となります。[証明終わり]
[証明] とすると
、
と書けます。
とすると
、
とおくと
となり
より
となります。
よって となります。[証明終わり]