円分多項式
の
乗根
の解を
の
乗根と呼びます。
とおくと
の
乗根は
個存在し、それらは
となります。
が成り立ちます。( は異なる複素数ですべて
乗すると
になることからこのことがわかります。)
の
乗根の中で
乗して初めて
になる(
である
では
乗しても
にならない)ものを
の原始
乗根と呼びます。
を
と互いに素な自然数とすると
は
の原始
乗根となります。逆に
を
の原始
乗根とすると
は
と互いに素となります。
と互いに素となる
である自然数
の個数を
と表します。
をオイラーの
関数と呼びます。
の原始
乗根の個数は
となります。
円分多項式
と
の最大公約数を
と表します。
と
が互いに素であることを
と表します。
円分多項式 を
と互いに素なすべての
(
)に対する
の積
と定義します。
[証明] が素数なので円分多項式
はすべての
(
)に対する
の積
となります。
であることから
となります。[証明終わり]
のとき
[証明]
に を代入すると主張が成り立ちます。[証明終わり]
以下の定理の証明で
- 二項係数
- 階乗
を使います。二項係数 は
の
の係数となります。
となります。
を素数、
とすると
の分子は
で割り切れて、分母は
で割り切れないので、
は
の倍数となります。
[証明] より
となります。 は
のとき
の倍数となり
なのでアイゼンシュタインの既約判定法の条件を満たします。よって
は既約多項式となります。
とすると
となって
または
のどちらかの次数は
となります。よって
または
のどちらかの次数は
となるので
は既約多項式となります。[証明終わり]
整数係数の多項式 の係数がすべて素数
で割り切れるとします。整数係数の範囲で
と因数分解されているとき
、
のいずれか一方はすべての係数が
で割り切れます。
[証明] 、
、
とします。
のとき
となって
となります。
は素数なので
または
となります。よって
または
となります。
のとき成り立っていると仮定します。
より
となり
または
となります。
のとき
とおくと
となって帰納法の仮定より
または
となります。
のときは
となります。
のときも同様となります。[証明終わり]
整数係数の多項式 が有理数係数で因数分解できれば、整数係数でも因数分解できます。
[証明] 、
とします。
の係数の分母の最小公倍数を
、
の係数の分母の最小公倍数を
とおきます。
、
とおきます。
となります。
となる素数
が存在します。
は
を割るか
を割るかどちらかとなります。両辺を
で割ると
という
が1つ減った形にすることができます。これを
がなくなるまで繰り返すと
(
)という形になります。このとき
、
となる
が存在します。[証明終わり]
が素数のとき
は体となります。
(
の剰余類を除いた集合)は積に関して位数
の群となります。
を整数、
を素数とするとき
となります。
[証明] は積に関して位数
の群となるので、この群での
の剰余類の位数は
の約数となります。よって
となって
となります(
のとき)。
のときも
となります。[証明終わり]
を整数、
を素数とするとき
となります。
[証明] 上の結果より
となります。[証明終わり]
、
を環、
を環の準同型とします。このとき任意の
に対して環の準同型
で
- 任意の
に対して
を満たすものが一意的に存在します。 に対して
を
と表します。
を代入射と呼びます。
を環とします。
で生成される
のイデアルを
と表します。
と
で生成される
のイデアルを
と表します。
と
に対して
であるとき
と表します。
が単項イデアル整域であるとき
は単項イデアル整域となります。
を単項イデアル整域、
を
の既約元とすると
は
の極大イデアルとなります。
を単項イデアル整域、
を
の既約元、
とすると
または
となります。
を
の原始
乗根とします。
を
上の既約多項式で、
であるものとします。このとき
と互いに素な素数
に対して
となります。
[証明] とおくと
となります。
は単項イデアル整域、
は
の既約多項式であるから
または
となります。
とすると
となるので
となる
が存在します。
となってこれは矛盾となります。よって
となります。
となる
が存在します。このとき
となる
が存在します。
を
と書くことにより
と考えることができます。
となるので
または
となります。
とおくと
となります。
と仮定すると
となります。
は単項イデアル整域、
は
の既約多項式であるから
または
となります。
とすると
となるので
となる
が存在します。
となってこれは矛盾となります。よって
となります。
は既約多項式なので
は 素イデアルとなり
となります。
となって
は重根を持つことになりますが
は重根を持たないので矛盾が生じます。
よって となります。[証明終わり]
円分多項式 は
上既約となります。
[証明] 円分多項式 は
と定義されています。
の既約な因子の1つは
の原始
乗根が根となります。そのようなものを
とおきます。
は既約多項式で
であるものとなります。
、
とします。
となる素数
が存在します。
は
と互いに素となります。
前の定理より となります。
より
も
の原始
乗根となります。よって
と繰り返すことにより
となります。