群論の計算(34) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

体と自己同型写像(8)

また少し定理を書き直していきます。

定理 5.9

$K$ を体とします。 $f \in K[X]$ を $K$ 上の $n$ 次既約多項式、 $\alpha, \beta$ を $f$ の異なる根であるとすると $\sigma(\alpha) = \beta$ を満たし $K$ 上では恒等写像であるような $K(\alpha)$ から $K(\beta)$ への同型写像 $\sigma$ が存在します。

[証明] $L = K(\alpha, \beta)$ とおき、 $\psi_\alpha , \psi_\beta : K[X] \to L$ を $K$ 上の代数の準同型で $\psi_\alpha(X) = \alpha$ 、 $\psi_\beta(X) = \beta$ を満たすものとします。

$f$ は既約多項式なので $\alpha$ の最小多項式かつ $\beta$ の最小多項式となるので $\psi_\alpha^{-1}(0) = \psi_\beta^{-1}(0) = (f)$ となって $K$ 上の代数として $K[X] / (f) \cong K(\alpha) \cong K(\beta)$ となります。

この写像 $\sigma$ を以下のように定義できます。 $\overline{\psi_\alpha} : K[X] / (f) \to K(\alpha)$ を $\overline{\psi_\alpha}( g + (f) ) = g(\alpha)$ と定義すると $\overline{\psi_\alpha}$ は $K$ 上の代数の同型となります。 $\overline{\psi_\beta} : K[X] / (f) \to K(\beta)$ を $\overline{\psi_\beta}( g + (f) ) = g(\beta)$ と定義すると $\overline{\psi_\beta}$ は $K$ 上の代数の同型となります。よって $K(\alpha)$ から $K(\beta)$ への $K$ 上では恒等写像であるような同型写像 $\sigma = \overline{\psi_\beta} \circ \overline{\psi_\alpha}^{-1}$ が存在します。

$\sigma(\alpha) = \overline{\psi_\beta} ( \overline{\psi_\alpha}^{-1} (\alpha) ) = \overline{\psi_\beta} ( X + (f) ) = \beta$
が成り立ちます。 [証明終わり]

定理 5.21

$K$ を体とします。 $f$ を $K$ 上の $m$ 次既約多項式、 $\alpha$ 、 $\gamma$ を $f$ の異なる根とします。 $K(\alpha)$ 上の $n$ 次既約多項式 $g_\alpha$ と、この多項式の係数に現れる $\alpha$ を $\gamma$ に置き換えた $K(\gamma)$ 上の $n$ 次既約多項式 $g_\gamma$ があるとします。 $\beta$ を $g_\alpha$ の根、 $\delta$ を $g_\gamma$ の根とするとき
$\sigma(\alpha) = \gamma$ 、 $\sigma(\beta) = \delta$
を満たし $K$ 上では恒等写像であるような $K(\alpha, \beta)$ から $K(\gamma, \delta)$ への同型写像 $\sigma$ が存在します。

[証明] 定理 5.9 より $K[X] / (f) \cong K(\alpha) \cong K(\gamma)$ であり、 $\tau(\alpha) = \gamma$ を満たす $K(\alpha)$ から $K(\gamma)$ への $K$ 上では恒等写像であるような同型写像 $\tau$ が存在します。

$K(\alpha)$ 上では恒等写像で $\lambda(X) = \beta$ を満たす $K(\alpha)$ 上の代数の準同型(代入射) $\lambda : K(\alpha)[X] \to K(\alpha, \beta)$ が存在します。 $K(\alpha)[X] / (g_\alpha) \cong K(\alpha, \beta)$ であり、 $\bar{\lambda} : K(\alpha)[X] / (g_\alpha) \to K(\alpha, \beta)$ 、 $\bar{\lambda} ( h + (g_\alpha) ) = h(\beta)$ は $K(\alpha)$ 上の代数の同型となります。

同様に、 $K(\gamma)$ 上では恒等写像で $\rho(Y) = \delta$ を満たす $K(\gamma)$ 上の代数の準同型(代入射) $\rho : K(\gamma)[Y] \to K(\gamma, \delta)$ が存在します。 $K(\gamma)[Y] / (g_\gamma) \cong K(\gamma, \delta)$ であり、 $\bar{\rho} : K(\gamma)[Y] / (g_\gamma) \to K(\gamma, \delta)$ 、 $\bar{\rho} ( h + (g_\gamma) ) = h(\delta)$ は $K(\gamma)$ 上の代数の同型となります。

$K(\alpha)$ 上では $\tau$ と一致して $\mu(X) = Y$ を満たす $K$ 上の代数の準同型(代入射) $\mu : K(\alpha)[X] \to K(\gamma)[Y]$ が存在します。 $\mu$ は全単射であり、 $\mu(g_\alpha) = g_\gamma$ となります。

$\eta : K(\gamma)[Y] \to K(\gamma)[Y] / (g_\gamma)$ を $\eta(h) = h + (g_\gamma)$ とすると $\eta$ は $K(\gamma)$ 上の代数の準同型となります。

$\eta \circ \mu : K(\alpha)[X] \to K(\gamma)[Y] / (g_\gamma)$ の核は $(g_\alpha)$ となるので $\bar{\mu} : K(\alpha)[X] / (g_\alpha) \to K(\gamma)[Y] / (g_\gamma)$ 、 $\bar{\mu}(h + (g_\alpha)) = \mu(h) + (g_\gamma)$ は $K$ 上の代数の同型となります。

$\sigma = \bar{\rho} \circ \bar{\mu} \circ \bar{\lambda}^{-1} : K(\alpha, \beta) \to K(\gamma, \delta)$ とおくと $\sigma$ は $K$ 上の代数の同型であり、
$\sigma(\alpha) = \bar{\rho} ( \bar{\mu} ( \bar{\lambda}^{-1} (\alpha) ) ) = \bar{\rho} ( \bar{\mu} ( \alpha + (g_\alpha) ) ) = \bar{\rho} ( \gamma + (g_\gamma) ) = \gamma$
$\sigma(\beta) = \bar{\rho} ( \bar{\mu} ( \bar{\lambda}^{-1} (\beta) ) ) = \bar{\rho} ( \bar{\mu} ( X + (g_\alpha) ) ) = \bar{\rho} ( Y + (g_\gamma) ) = \delta$
が成り立ちます。[証明終わり]

定理 5.22

$K$ を $\mathbb{Q}$ の拡大体、 $L$ を $K$ の拡大体で代数的閉体とします。 $f$ を $K$ 上の $m$ 次既約多項式、 $f$ の根を $\alpha_1 = \alpha, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ とします。 $K(\alpha)$ 上の $n$ 次既約多項式 $g$ と、 $g$ の係数に現れる $\alpha$ を $\alpha_i$ に置き換えた $K(\alpha_i)$ 上の $n$ 次既約多項式 $g_i$ があるとします。 $g_i = 0$ の根を $\beta_{i1} = \beta, \beta_{i2}, \cdots, \beta_{in}$ とします。

$K(\alpha, \beta)$ から $L$ への $K$ 上の代数としての同型写像はちょうど $mn$ 個あり、それらは
$\sigma_{ij}$ ( $1 \le i \le m$ 、 $1 \le j \le n$ )、 $\sigma_{ij}(\alpha) = \alpha_i$ 、 $\sigma_{ij}(\beta) = \beta_{ij}$
となります。

[証明] 定理 5.21 より $\sigma_{ij}$ ( $1 \le i \le m$ 、 $1 \le j \le n$ ) は $K(\alpha, \beta)$ から $L$ への $K$ 上の代数としての同型写像となります。定理 3.6 (5) より $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ はすべて異なる根であり、任意の $i$ に対して $\beta_{i1}, \beta_{i2}, \cdots, \beta_{in}$ はすべて異なる根であるから、 $\sigma_{ij}$ はすべて異なる写像となります。よって $K(\alpha, \beta)$ から $L$ への $K$ 上の代数としての同型写像の個数を $r$ とすると $r \ge mn$ となります。

$\sigma : K(\alpha, \beta) \to L$ を $K$ 上の代数の同型写像とすると $f(\sigma(\alpha)) = \sigma(f(\alpha)) = \sigma(0) = 0$ となって $\sigma(\alpha)$ は $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ のどれかとなります。任意の $i$ に対して $g_i(\sigma(\beta)) = \sigma(g_i(\beta)) = \sigma(0) = 0$ となって $\sigma(\beta)$ は $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ のどれかとなります。 $\sigma(\alpha)$ と $\sigma(\beta)$ を決めれば $\sigma$ が決まるので $r \le mn$ となります。