群論の計算(35) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

体と自己同型写像(9)

さらにまた少し定理を書き直していきます。

定理 5.32

$K$ を体とします。 $L$ を $K$ の有限拡大体とします。 $M$ を $L$ と $K$ の任意の中間体とすると
$[ L : M ] [ M : K ] = [ L : K ]$
が成り立ちます。

[証明] $L$ は $M$ 上のベクトル空間となります。その次元を $m$ とし、 $u_1, u_2, \cdots , u_m$ を基底とします。 $\displaystyle L = \sum_{i=1}^{m} M u_i$ となります。 $M$ は $K$ 上のベクトル空間となります。その次元を $n$ とし、 $v_1, v_2, \cdots , v_n$ を基底とします。 $\displaystyle M = \sum_{j=1}^{n} K v_j$ となります。よって $\displaystyle L = \sum_{i=1}^{m} M u_i = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} K u_i v_j$ となります。

$a_{ij} \in K$ ( $i = 1, 2, \cdots , m$ 、 $j= 1, 2, \cdots , n$ ) が $\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} u_i v_j = 0$ を満たすとすると、 $\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} u_i v_j = \sum_{i=1}^{m} \left( \sum_{j=1}^{n} a_{ij} v_j \right) u_i = 0$ となります。

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} v_j \in M$ で $u_1, u_2, \cdots , u_m$ は $L$ の $M$ 上の基底なので $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} v_j = 0$ ( $i = 1, 2, \cdots , m$ ) となります。 $a_{ij} \in L$ で $v_1, v_2, \cdots , v_n$ は $M$ の $K$ 上の基底なので $a_{ij} = 0$ ( $i = 1, 2, \cdots , m$ 、 $j = 1, 2, \cdots , n$ ) となります。よって $\{ a_{ij} \ | \ i = 1, 2, \cdots , m; j = 1, 2, \cdots , n \}$ は $K$ 上で1次独立となります。

よって $\{ a_{ij} \ | \ i = 1, 2, \cdots , m; j = 1, 2, \cdots , n \}$ は $L$ の $K$ 上の基底となり、 $L$ の $K$ 上の次元は $mn$ となります。[証明終わり]

定理 5.33

$K$ を $\mathbb{Q}$ の拡大体、 $L$ を $K$ 上のある多項式の最小分解体とします。 $M$ を $L$ と $K$ の任意の中間体とします。 $H = \operatorname{Gal}(L/M)$ とし、 $L$ の $H$ による固定体を $L^H$ とすると
$L^H = M$
が成り立ちます。特に、 $G = \operatorname{Gal}(L/K)$ とすれば
$L^G = K$
が成り立ちます。

[証明] $\sigma \in H = \operatorname{Gal}(L/M)$ は $M$ 上では恒等写像であるような $L$ の自己同型写像なので $\sigma \in G = \operatorname{Gal}(L/K)$ と考えることができます。 $G$ を基準に考えると $H = \{ \sigma \in G \operatorname{|} \sigma(x) = x \ (\forall x \in M )\} = G^M$ となります。

$x \in M$ とすると $G^M \subseteq G^x$ となります。
$\begin{eqnarray*} L^H & = & \bigcap_{\sigma \in H} L^\sigma = \bigcap_{\sigma \in H} \{ x \in L \operatorname{|} x \in L^\sigma \} \\ & = & \bigcap_{\sigma \in H} \{ x \in L \operatorname{|} \sigma(x) = x \} = \bigcap_{\sigma \in H} \{ x \in L \operatorname{|} \sigma \in G^x \} \\ & = & \bigcap_{\sigma \in G} \{ x \in L \operatorname{|} \sigma \in H \implies \sigma \in G^x \} \\ & = & \{ x \in L \operatorname{|} H \subseteq G^x \} \\ \end{eqnarray*}$
が成り立つので、 $H = G^M$ とすると $L^H = \{ x \in L \operatorname{|} G^M \subseteq G^x \} \supseteq M$ となります。

逆に $x \in L^H$ とします。

定理 5.27 より $L = M(\alpha)$ となる $\alpha \in L$ が存在します。 $L$ は $M$ のガロア拡大なので $L$ は $\alpha$ の $M$ 上の最小多項式 $f \in M[X]$ の最小分解体となります。 $n = \deg f$ とし、 $f$ の根を $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n \in L$ とおきます。

$x \in L$ は $\alpha$ の $n-1$ 次以下のある多項式 $g \in M[X]$ で $x = g(\alpha)$ と書くことができ、 $x \in L^H$ とすると任意の $\sigma \in H$ に対して $\sigma(x) = x$ となります。

$g(\alpha) = g'(\alpha)$ となる $g' \in M[X]$ が存在するとします。 $h = g - g'$ とおくと $h(\alpha) = 0$ となります。 $h$ は $f$ で割り切れて次数が $f$ より小さいので $h = 0$ となり、 $h(\alpha_i) = 0$ となります。逆に $h(\alpha_i) = 0$ ならば $h(\alpha) = 0$ となります。

よって $\sigma_i : L \to L$ を $\sigma_i(g(\alpha)) = g(\alpha_i)$ と定義することができ、 $\sigma_i$ は演算を保存するので $M$ を不変にする $L$ の同型写像となります。

$p = g - g(\alpha) \in L[X]$ とおくと $p(\alpha_i) = g(\alpha_i) - g(\alpha) = 0$ となり、 $g$ の次数が $1$ 以上とすると $p$ は $n$ 個の異なる根 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ を持つことになり矛盾となります。

よって $g$ の次数は $0$ となり、 $x \in M$ となって、 $L^H \subseteq M$ が成り立ちます。

最初に述べたように $M \subseteq L^H$ が成り立っていたので $L^H = M$ となります。[証明終わり]

定理 5.34

$K$ を $\mathbb{Q}$ の拡大体、 $L$ を $K$ 上のある多項式の最小分解体とします。
$M$ を $L$ と $K$ の任意の中間体とします。 $G = \operatorname{Gal}(L/K)$ 、 $H$ を $G$ の部分群とします。 $L$ における $H$ の固定体を $M = L^H$ とすると
$H = \operatorname{Gal}(L/M)$
が成り立ちます。

[証明] $\sigma \in H$ とすると $L^H \subseteq L^\sigma$ となります。
$\begin{eqnarray*} G^M & = & \bigcap_{x \in M} G^x = \bigcap_{x \in M} \{ \sigma \in G \operatorname{|} \sigma \in G^x \} \\ & = & \bigcap_{x \in M} \{ \sigma \in G \operatorname{|} \sigma(x) = x \} = \bigcap_{x \in M} \{ \sigma \in G \operatorname{|} x \in L^\sigma \} \\ & = & \bigcap_{x \in L} \{ \sigma \in G \operatorname{|} x \in M \implies x \in L^\sigma \} \\ & = & \{ \sigma \in G \operatorname{|} M \subseteq L^\sigma \} \\ \end{eqnarray*}$
が成り立つので、 $M = L^H$ とすると $G^M = \{ \sigma \in G \operatorname{|} L^H \subseteq L^\sigma \} \supseteq H$ となります。

定理 5.27 より $L = M(\alpha)$ となる $\alpha \in L$ が存在します。 $L$ は $M$ のガロア拡大なので $L$ は $\alpha$ の $M$ 上の最小多項式 $f \in M[X]$ の最小分解体となります。 $n = \deg f$ とおくと定理 5.31 より $n = [L:M] = |G^M|$ となります。

$H = \{ \sigma_1, \sigma_2, \cdots , \sigma_m \} \subseteq G^M$ とします( $m \le n$ )。 $g = (X - \sigma_1(\alpha)) (X - \sigma_2(\alpha)) \cdots (X - \sigma_m(\alpha)) \in L[X]$ とおくと $g$ は任意の $\sigma_i \in H$ によって不変なので $g$ の係数は任意の $\sigma_i \in H$ によって不変となり $L^H = M$ の元となります。よって $g \in M[X]$ となります。

$f$ は $\alpha$ の $M$ 上の最小多項式なので $g$ は $f$ で割り切れます。 $g \ne 0$ であるから $n \le m$ となります。よって $n = m$ となって $H = G^M = \operatorname{Gal}(L/M)$ となります。[証明終わり]

定理 5.35

$K$ を $\mathbb{Q}$ の拡大体、 $L$ を $K$ 上のある多項式の最小分解体、 $G$ をガロア群とします。中間体 $M$ と部分群 $H$ がガロア対応しているとします。 $\sigma$ を $G$ の任意の元とするとき

中間体 $\sigma(M)$ と部分群 $\sigma H \sigma^{-1}$ はガロア対応をする。
$H$ が $G$ の正規部分群である $\iff$ 任意の $\sigma \in G$ に対して $M = \sigma(M)$

[証明] 1. 以下のことが成り立つことからわかります。
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Gal}(L/\sigma(M)) & = & \bigcap_{x \in \sigma(M)} \{ \tau \in G \operatorname{|} \tau(x) = x \} \\ & = & \bigcap_{y \in M} \{ \tau \in G \operatorname{|} \tau(\sigma(y)) = \sigma(y) \} \\ & = & \bigcap_{y \in M} \{ \tau \in G \operatorname{|} \sigma^{-1}(\tau(\sigma(y))) = y \} \\ & = & \bigcap_{y \in M} \{ \tau \in G \operatorname{|} \sigma^{-1} \tau \sigma \in G^y \} \\ & = & \{ \tau \in G \operatorname{|} \sigma^{-1} \tau \sigma \in G^M \} \\ & = & \{ \tau \in G \operatorname{|} \sigma^{-1} \tau \sigma \in H \} \\ & = & \{ \sigma \mu \sigma^{-1} \operatorname{|} \mu \in H \} \\ & = & \sigma H \sigma^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L^{\sigma H \sigma^{-1}} & = & \bigcap_{\mu \in \sigma H \sigma^{-1}} \{ x \in L \operatorname{|} \mu(x) = x \} \\ & = & \bigcap_{\tau \in H} \{ x \in L \operatorname{|} \sigma(\tau(\sigma^{-1} (x))) = x \} \\ & = & \bigcap_{\tau \in H} \{ \sigma(y) \operatorname{|} \sigma(\tau(y)) = \sigma(y) , \ y \in L \} \\ & = & \bigcap_{\tau \in H} \{ \sigma(y) \operatorname{|} \tau(y) = y , \ y \in L \} \\ & = & \bigcap_{\tau \in H} \{ \sigma(y) \operatorname{|} y \in L^\tau \} \\ & = & \{ \sigma(y) \operatorname{|} y \in L^H \} \\ & = & \{ \sigma(y) \operatorname{|} y \in M \} \\ & = & \sigma(M) \end{eqnarray*}$
2. 任意の $\sigma \in G$ に対して以下のことが成り立ちます。
$\begin{eqnarray*} H = \sigma H \sigma^{-1} & \iff & \operatorname{Gal}(L/M)= \operatorname{Gal}(L/\sigma(M)) \\ & \iff & M = \sigma(M) \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

定理 5.36

$K$ を $\mathbb{Q}$ の拡大体、 $L$ を $K$ 上のある多項式の最小分解体とします。そのガロア群を $G$ とし、中間体 $M$ と部分群 $H$ がガロア対応しているとします。このとき
$M$ が $K$ のガロア拡大である $\iff$ $H$ が $G$ の正規部分群である
また、これらを満たすとき
$\operatorname{Gal}(M/K) \cong G/H$

[証明] $M$ が $K$ のガロア拡大であるとします。 $\sigma \in G$ を $M$ に制限した写像を $\bar{\sigma} : M \to L$ とすると $M$ が $K$ のガロア拡大であることから $\bar{\sigma}(M) = M$ となります。 $\sigma(M) = \bar{\sigma}(M) = M$ となって、定理 5.35 (2) より $H$ は $G$ の正規部分群となります。

逆に $H$ が $G$ の正規部分群とすると定理 5.35 (2) より任意の $\sigma \in G$ に対して $M = \sigma(M)$ となります。

定理 5.27 より $M = K(\alpha)$ となる $\alpha \in M$ 、 $L = M(\beta)$ となる $\beta \in L$ が存在します。 $L = K(\alpha, \beta)$ となります。定理 5.21 より $K$ 上の代数の同型 $\bar{\sigma} : M \to L$ を拡張した $\sigma : L \to L$ が存在して、 $M = \sigma(M) = \bar{\sigma}(M)$ となります。

よって任意の $K$ 上の代数の同型 $\bar{\sigma} : M \to L$ に対して $M = \bar{\sigma}(M)$ となるので $M$ は $K$ のガロア拡大となります。

$\varphi : G \to \operatorname{Gal}(M/K)$ を $\varphi(\sigma) = \bar{\sigma}$ と定義します。上に述べたように定理 5.21 より任意の $\bar{\sigma} \in\operatorname{Gal}(M/K)$ に対して $\varphi(\sigma) = \bar{\sigma}$ を満たす $\sigma \in G$ が存在するので $\varphi$ は全射となります。 $\operatorname{Ker} \varphi = \{ \sigma \in G \operatorname{|} \bar{\sigma} = 1_M \} = G^M = H$ ( $1_M$ は $M$ の恒等写像)となり $\operatorname{Gal}(M/K) \cong G/H$ が成り立ちます。[証明終わり]

ガロア理論の頂を踏む

作者:石井俊全
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