エレファント・ビジュアライザー調査記録

ビジュアルプログラミングで数式の変形を表すことを考えていくブロクです。

群論の計算(37)

ガロア群が可解群ならば根は冪根で表すことができる

定理 5.27

\mathbb{Q} を含む体 K 上のある多項式の最小分解体 L は、ある \theta \in L を用いて L = K(\theta) と表せます。

定理 5.28

K を \mathbb{Q} を含む体とします。 K 上のある多項式の最小分解体を L、ガロア群を G とするとき [ L : K ] = | G | が成り立ちます。

定理 6.6

K を \mathbb{Q} を含む体とします。 L を K のガロア拡大として、 \operatorname{Gal}(L/K) を \sigma で生成される位数 n の巡回群とします。このとき L のすべての x について
x + a_1 \sigma(x) + a_2 \sigma^2(x) + \cdots + a_{n-1} \sigma^{n-1}(x) = 0
となるような L の元 a_1, \cdots , a_{n-1} は存在しません。

[証明] ガロア拡大の定義と定理 5.28の証明より、 L は K 上のある多項式の最小分解体となり、定理 5.27より L = K(\theta) を満たす \theta \in L が存在します。

\theta, \sigma(\theta), \sigma^2(\theta), \cdots , \sigma^{n-1}(\theta) はすべて異なる元となります。

a_1, \cdots , a_{n-1} \in L を任意の x \in L に対して
x + a_1 \sigma(x) + a_2 \sigma^2(x) + \cdots + a_{n-1} \sigma^{n-1}(x) = 0
を満たすものとすると、この式の左辺を f(x) とおくと f(\theta x) = 0 より
\theta x + a_1 \sigma(\theta x) + a_2 \sigma^2(\theta x) + \cdots + a_{n-1} \sigma^{n-1}(\theta x) = 0
\theta x + a_1 \sigma(\theta) \sigma(x) + a_2 \sigma^2(\theta) \sigma^2(x) + \cdots + a_{n-1} \sigma^{n-1}(\theta) \sigma^{n-1}(x) = 0
が成り立ち、 \sigma^{n-1}(\theta) f(x) = 0 より
\sigma^{n-1}(\theta) x + a_1 \sigma^{n-1}(\theta) \sigma(x) + a_2 \sigma^{n-1}(\theta) \sigma^2(x) + \cdots + a_{n-1} \sigma^{n-1}(\theta) \sigma^{n-1}(x) = 0
が成り立ちます。 \sigma^{n-1}(\theta) f(x) - f(\theta x) = 0 より
( \sigma^{n-1}(\theta) - \theta) x + a_1 (\sigma^{n-1}(\theta) - \sigma(\theta) ) \sigma(x) + \cdots + a_{n-2} ( \sigma^{n-1}(\theta) - \sigma^{n-2}(\theta) ) \sigma^{n-2}(x) = 0
が成り立ちます。

これを \sigma^{n-1}(\theta) - \theta で割ったものは
x + a_1' \sigma(x) + a_2' \sigma^2(x) + \cdots + a_{n-2}' \sigma^{n-2}(x) = 0
と表すことができます。これを繰り返すと x = 0 となります。任意の x \in L に対して x = 0 となって矛盾となります。[証明終わり]

定理 6.7

K を \mathbb{Q} を含む体とします。 \zeta を 1 の原始 n 乗根とします。 L は K 上の n 次多項式 f の根 \theta を用いて、 L = K(\theta) と表されているものとします。 L は K のガロア拡大で、 \operatorname{Gal}(L/K) が \sigma で生成される位数 n の巡回群であるものとします。
g(x) = x + \zeta^{n-1} \sigma(x) + \zeta^{n-2} \sigma^2(x) + \cdots + \zeta \sigma^{n-1}(x)
とおくとき g(\theta), g(\theta^2), \cdots , g(\theta^{n-1}) のうち、少なくとも1つは 0 ではありません。

[証明] 任意の x \in L に対して
x = a_0 + a_1 \theta + a_2 \theta^2 + \cdots + a_{n-1} \theta^{n-1}
を満たす a_1, \cdots , a_{n-1} \in K が存在します。

\sigma^i (x) = a_0 + a_1 \sigma^i (\theta) + a_2 \sigma^i (\theta^2) + \cdots + a_{n-1} \sigma^i (\theta^{n-1})
となるので
g(x) = g(a_0 + a_1 \theta + a_2 \theta^2 + \cdots + a_{n-1} \theta^{n-1})
= \begin{eqnarray*} & & a_0 + a_1 \theta + a_2 \theta^2 + \cdots + a_{n-1} \theta^{n-1} \\ & + & \zeta^{n-1} \sigma( a_0 + a_1 \theta + a_2 \theta^2 + \cdots + a_{n-1} \theta^{n-1} ) \\ & + & \zeta^{n-2} \sigma^2( a_0 + a_1 \theta + a_2 \theta^2 + \cdots + a_{n-1} \theta^{n-1} ) \\ & \vdots & \\ & + & \zeta \sigma^{n-1}( a_0 + a_1 \theta + a_2 \theta^2 + \cdots + a_{n-1} \theta^{n-1} ) \\ \end{eqnarray*}

= \begin{array}{cccccccccc} & a_0 &+& a_1 \theta &+& a_2 \theta^2 &+& \cdots &+& a_{n-1} \theta^{n-1} \\ + & a_0 \zeta^{n-1} &+& a_1 \zeta^{n-1} \sigma(\theta) &+& a_2 \zeta^{n-1} \sigma(\theta^2) &+& \cdots &+& a_{n-1} \zeta^{n-1} \sigma(\theta^{n-1}) \\ + & a_0 \zeta^{n-2} &+& a_1 \zeta^{n-2} \sigma^2(\theta) &+& a_2 \zeta^{n-2} \sigma^2(\theta^2) &+& \cdots &+& a_{n-1} \zeta^{n-2} \sigma^2(\theta^{n-1}) \\ + & & \vdots \\ + & a_0 \zeta &+& a_1 \zeta \sigma^{n-1}(\theta) &+& a_2 \zeta \sigma^{n-1}(\theta^2) &+& \cdots &+& a_{n-1} \zeta \sigma^{n-1}(\theta^{n-1}) \end{array}
= a_0 g(1) + a_1 g(\theta) + a_2 g(\theta^2) + \cdots + a_{n-1} g(\theta^{n-1})
が成り立ちます。

g(1) = 1 + \zeta^{n-1} + \zeta^{n-2} + \cdots + \zeta = 0 であるので g(\theta), g(\theta^2), \cdots , g(\theta^{n-1}) がすべて 0 だとすると、任意の x \in L に対して g(x) = 0 となって定理 6.6 に矛盾します。[証明終わり]

定理 6.5

K を \mathbb{Q} と 1 の原始 n 乗根 \zeta を含む体、 L/K はガロア拡大とします。 \operatorname{Gal}(L/K) が \sigma で生成される位数 n の巡回群であるとき、 K の元 a が存在して L は X^n - a の最小分解体となります。

[証明] 定理 6.7 より
c + \zeta^{n-1} \sigma(c) + \zeta^{n-2} \sigma^2(c) + \cdots + \zeta \sigma^{n-1}(c) \ne 0
を満たす c \in L が存在します。
\alpha = c + \zeta^{n-1} \sigma(c) + \zeta^{n-2} \sigma^2(c) + \cdots + \zeta \sigma^{n-1}(c)
とおきます。

\sigma は K の元 \zeta を不変にするので \sigma(\zeta^{n-i} \sigma^i(c)) = \zeta^{n-i} \sigma^{i+1}(c) となります。

\begin{eqnarray*} \sigma^i(\alpha) & = & \sigma^i( c + \zeta^{n-1} \sigma(c) + \zeta^{n-2} \sigma^2(c) + \cdots + \zeta \sigma^{n-1}(c) ) \\ & = & \sigma^i(c) + \zeta^{n-1} \sigma^{i+1}(c) + \zeta^{n-2} \sigma^{i+2}(c) + \cdots + \zeta \sigma^{i+n-1}(c) \\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \zeta^{-i} \sigma^i(\alpha) & = & \zeta^{-i} (\sigma^i(c) + \zeta^{n-1} \sigma^{i+1}(c) + \zeta^{n-2} \sigma^{i+2}(c) + \cdots + \zeta \sigma^{i+n-1}(c)) \\ & = & \zeta^{-i} \sigma^i(c) + \zeta^{-(i+1)} \sigma^{i+1}(c) + \zeta^{-(i+2)} \sigma^{i+2}(c) + \cdots + \zeta^{-(i-1)} \sigma^{i-1}(c) \\ & = & \alpha \end{eqnarray*}
となるので \sigma^i(\alpha) = \zeta^i \alpha が成り立ちます。よって \sigma^i(\alpha^n) = \alpha^n となり \alpha^n \in K となります。

a = \alpha^n とおきます。 X^n - a の K 上の最小分解体は
K(\alpha, \zeta \alpha, \zeta^2 \alpha, \cdots , \zeta^{n-1} \alpha) = K(\alpha, \zeta) = K(\alpha)
であり \sigma^i は K(\alpha) 上では K(\alpha) の自己同型写像となります。
\operatorname{Gal}(K(\alpha)/K) = \{ e, \sigma, \sigma^2, \cdots , \sigma^{n-1} \}
となります。定理 5.28 より [ L : K ] = [ K(\alpha) : K ] となるので L = K(\alpha) となります。[証明終わり]

定理 6.8

\mathbb{Q} を含む体 K 上の方程式 f の根が冪根で表される \Longleftarrow f のガロア群が可解群である

[証明] f の最小分解体を L、ガロア群を G とし G が可解群であるとします。部分群の列
G = H_0 \supseteq H_1 \supseteq H_2 \supseteq \cdots \supseteq H_{n-1} \supseteq H_s = \{e\}
で H_{i+1} が H_{i} の正規部分群で H_{i}/H_{i+1} が巡回群であるものが存在します( i = 0, 1, \cdots , n-1)。これにガロア対応する中間体の列を
K = M_0 \subseteq M_1 \subseteq M_2 \subseteq \cdots \subseteq M_{n-1} \subseteq M_s = L
とします。ここで M_{i+1} / M_{i} は巡回拡大となります。

[ M_{i+1} / M_{i} ] = n_i とおき、 n_0, n_1, \cdots , n_{s-1} の最小公倍数を n として、 1 の原始 n 乗根 \zeta を拡大列に加えます。
K(\zeta) = M_0(\zeta) \subseteq M_1(\zeta) \subseteq M_2(\zeta) \subseteq \cdots \subseteq M_{s-1}(\zeta) \subseteq M_s (\zeta) = L(\zeta)
という拡大列になります。

すると M_{i+1} (\zeta)/ M_{i}(\zeta) の拡大では M_{i}(\zeta) に 1 の原始 n_i 乗根が含まれているので定理 6.5 より M_{i+1}(\zeta) / M_{i}(\zeta) は冪根拡大になります。よって L(\zeta) / K は累冪根拡大になり、 f の根は冪根で表されます。

M_{i+1}(\zeta) は M_{i}(\zeta) に X^{n_{i+1}} - a_{i+1} の1つの根 \sqrt[n_{i+1}]{a_{i+1}} を加えて M_{i+1}(\zeta) = M_{i}(\zeta)(\sqrt[n_{i+1}]{a_{i+1}}, \zeta) と表されています。
L(\zeta) = M_{s-1}(\sqrt[n_s]{a_s}, \zeta) = M_{s-2}(\sqrt[n_s]{a_s}, \sqrt[n_{s-1}]{a_{s-1}}, \zeta) = \cdots = K(\sqrt[n_s]{a_s}, \sqrt[n_{s-1}]{a_{s-1}}, \cdots , \sqrt[n_1]{a_1}, \zeta)
となります。解の公式があるということはわかったのでこれで終わりとします。[証明終わり]

ガロア理論の頂を踏む

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