群論の計算(38) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

根が冪根で表すことができるならばガロア群は可解群

この項は『今度こそわかるガロア理論』*1 も参照しています。

定理 6.2

$\mathbb{Q}$ を含む体 $K$ のガロア拡大体 $L$ のガロア群を $G$ とします。
$G$ が可解群である $\iff$ $L/K$ は累巡回拡大である

定理 6.4

$\zeta$ を $1$ の原始 $n$ 乗根とします。 $K$ は $\mathbb{Q}$ を含む体で $K$ には $\zeta$ が含まれているものとします。 $a \in K$ を $a \ne 1$ とし $K$ 上の多項式 $X^n - a$ の根の1つを $\sqrt[n]{a} \notin K$ とします。このとき $\operatorname{Gal}(K(\sqrt[n]{a})/K)$ は巡回群であり、位数は $n$ の約数となります。 $K(\sqrt[n]{a})/K$ は巡回拡大となります。

[証明] $\alpha = \sqrt[n]{a}$ 、 $L = K(\alpha)$ とおきます。 $L = K(\alpha, \alpha \zeta, \alpha \zeta^2, \cdots , \alpha \zeta^{n-1})$ となるので $L$ は $X^n - a$ の最小分解体となり $L$ は $K$ のガロア拡大体となります。 $G = \operatorname{Gal}(L/K)$ とおきます。

任意の $\sigma \in G$ に対して $\sigma(\alpha) = \alpha \zeta^{i}$ となる $i \in \{ 0,1, 2, \cdots , n-1 \}$ が一意的に存在するので、 $G$ から位数 $n$ の巡回群 $\langle \zeta \rangle = \{ \zeta^j \operatorname{|} j = 0, 1, 2, \cdots , n-1 \}$ への写像 $\psi$ を $\psi(\sigma) = \zeta^i$ と定義することができて、 $\psi$ は単射となります。

$\sigma , \tau \in G$ に対して $\psi(\sigma) = \zeta^i$ 、 $\psi(\tau) = \zeta^j$ とすると
$(\sigma \tau) (\alpha) = \sigma ( \tau (\alpha) ) = \sigma(\alpha \zeta^{j}) = \sigma(\alpha)\zeta^{j} = \alpha \zeta^{i} \zeta^{j} = \alpha \zeta^{i + j}$
であるから
$\psi(\sigma\tau) = \zeta^{i + j} = \psi(\sigma) \psi(\tau)$
となって $\psi$ は準同型となります。したがって $G$ は位数 $n$ の巡回群 $\langle \zeta \rangle$ の部分群と同型で巡回群となります。[証明終わり]

定理 6.9

$\mathbb{Q}$ を含む体 $K$ のある拡大体の元 $\alpha$ が $K$ 上で冪根で表されているとき $L/K$ が累巡回拡大かつガロア拡大となる $\alpha$ を含む $K$ の拡大体 $L$ が存在します。

[証明] $M = K(\alpha)$ とおきます。

$\sigma_1, \sigma_2, \cdots , \sigma_m$ を $M$ から $\mathbb{C}$ への $K$ 上の代数の単射の準同型全体として $\sigma_1(M), \sigma_2(M), \cdots , \sigma_m(M)$ の和集合 $S$ で生成された体、すなわち $S$ を含む最小の体を $L$ とします。 $S$ の元と $K$ 上共役な元はすべて $L$ に含まれるので $L$ は $K$ 上ガロア拡大となります。

また $\sigma_1(M), \sigma_2(M), \cdots , \sigma_m(M)$ のどの体も体 $K$ の累冪根拡大体なので $L$ も $K$ の累冪根拡大体となります。

よって次のような体の列が存在します。
$K = M_0 \varsubsetneq M_1 \varsubsetneq M_2 \varsubsetneq \cdots \varsubsetneq M_r = L$
$M_{i+1} = M_i(\sqrt[n_i]{a_i}) \ (a_i \in M_i)$ ( $i = 0, 1, \cdots , r-1$ )

$\displaystyle n = \prod_{i=0}^{r-1} n_i$ 、 $\zeta$ を $1$ の原始 $n$ 乗根、 $N = K(\zeta)$ とおきます。 $N/K$ はガロア拡大となります。

$H = \operatorname{Aut}_K (N)$ の任意の元 $\sigma$ 、 $\tau$ をとると $\sigma(\zeta) = \zeta^i$ 、 $\tau(\zeta) = \zeta^j$ となる $i, j$ ( $1 \le i \le n$ 、 $1 \le j \le n$ ) が存在します。
$\sigma \tau(\zeta) = \sigma(\zeta^j) = (\sigma(\zeta))^j = (\zeta^i)^j = (\zeta^j)^i = (\tau(\zeta))^i = \tau(\zeta^i) = \tau \sigma(\zeta)$
が成り立ちます。 $\sigma(\zeta)$ と $\tau(\zeta)$ が決まれば $\sigma$ と $\tau$ は決まるので $H$ はアーベル群となります。

$H$ の部分群の列
$H_0 = \{e\} \subseteq H_1 \subseteq H_2 \subseteq \cdots \subseteq H_l = H$
を $H_i \ne H$ であれば $\mu_1 \in H \setminus H_i$ をとって $H_{i+1}$ を $H_i$ と $\mu_i$ で生成された $H$ の部分群となるようにとります。 $H$ は有限群なのでこの列は有限となります。 $H$ はアーベル群なので $H$ のすべての部分群は $H$ の正規部分群となります。 $H_{i+1}/H_i$ は巡回群となります。 $H_{i+1}/H_i$ が巡回群(アーベル群としても同値となります)である列を持つとき $H$ は可解群であると定義したので $H$ は可解群となります。

定理 6.2 より $N/K$ は累巡回拡大となります。

また $L$ は $K$ 上ガロア拡大であるから $N$ と $L$ の合成体( $N$ と $L$ を含む最小の体)を $F = NL$ で表すことにすれば $F$ も $K$ のガロア拡大となります。

合成体 $F_i = NM_i$ ( $i = 0, 1, \cdots , r$ ) に対して
$K \subseteq N = F_0 \subseteq F_1 \subseteq F_2 \subseteq \cdots \subseteq F_r = F$
$F_{i+1} = NM_i(\sqrt[n_i]{a_i}) = F_i(\sqrt[n_i]{a_i})$ となります。 $n$ の約数である $n_i$ に対して $1$ の原始 $n$ 乗根 $\zeta \in K(\zeta) = N \subseteq F_i$ となるから、定理 6.4 より $F_{i+1}$ は $F_i$ 上巡回拡大となります( $i = 0, 1, \cdots , r-1$ )。

よって $F/K$ はガロア拡大であり、累巡回拡大となります。[証明終わり]

定理 6.10

$\mathbb{Q}$ を含む体 $K$ 上の多項式 $f$ の1つの根が冪根で表されるならば $f$ のガロア群は可解群となります。

[証明] $f$ の1つの根を $\alpha$ 、最小分解体を $L$ とします。定理 6.9 より体の列
$K = M_0 \subseteq M_1 \subseteq M_2 \subseteq \cdots \subseteq M_{k-1} \subseteq M_k = E$
で、 $M_{i+1} / M_{i}$ が巡回拡大( $i = 0, 1, \cdots , k-1$ )、 $E/K$ はガロア拡大で、 $\alpha \in E$ であるものが存在します。 $E/K$ はガロア拡大なので $f$ の根はすべて $E$ に含まれます。よって $E$ は $f$ の最小分解体を $L$ を含みます。 $E/K$ はガロア拡大なので定理 5.31 より $E/L$ もガロア拡大となります。

$G = \operatorname{Gal}(E/K)$ 、 $H = \operatorname{Gal}(E/L)$ とおきます。定理 5.31 より $\operatorname{Gal}(L/K) \cong G/H$ となります。 $E/K$ が累巡回拡大なので定理 6.2 より $G$ は可解群となります。定理 2.30 (可解群の剰余群は可解群)より $G/H$ も可解群となります。[証明終わり]