根が冪根で表すことができるならばガロア群は可解群
この項は『今度こそわかるガロア理論』*1 も参照しています。
定理 6.4
を
の原始
乗根とします。
は
を含む体で
には
が含まれているものとします。
を
とし
上の多項式
の根の1つを
とします。このとき
は巡回群であり、位数は
の約数となります。
は巡回拡大となります。
[証明] 、
とおきます。
となるので
は
の最小分解体となり
は
のガロア拡大体となります。
とおきます。
任意の に対して
となる
が一意的に存在するので、
から位数
の巡回群
への写像
を
と定義することができて、
は単射となります。
に対して
、
とすると
であるから
となって は準同型となります。したがって
は位数
の巡回群
の部分群と同型で巡回群となります。[証明終わり]
定理 6.9
を含む体
のある拡大体の元
が
上で冪根で表されているとき
が累巡回拡大かつガロア拡大となる
を含む
の拡大体
が存在します。
[証明] とおきます。
を
から
への
上の代数の単射の準同型全体として
の和集合
で生成された体、すなわち
を含む最小の体を
とします。
の元と
上共役な元はすべて
に含まれるので
は
上ガロア拡大となります。
また のどの体も体
の累冪根拡大体なので
も
の累冪根拡大体となります。
よって次のような体の列が存在します。
(
)
、
を
の原始
乗根、
とおきます。
はガロア拡大となります。
の任意の元
、
をとると
、
となる
(
、
) が存在します。
が成り立ちます。 と
が決まれば
と
は決まるので
はアーベル群となります。
の部分群の列
を であれば
をとって
を
と
で生成された
の部分群となるようにとります。
は有限群なのでこの列は有限となります。
はアーベル群なので
のすべての部分群は
の正規部分群となります。
は巡回群となります。
が巡回群(アーベル群としても同値となります)である列を持つとき
は可解群であると定義したので
は可解群となります。
定理 6.2 より は累巡回拡大となります。
また は
上ガロア拡大であるから
と
の合成体(
と
を含む最小の体)を
で表すことにすれば
も
のガロア拡大となります。
合成体 (
) に対して
となります。
の約数である
に対して
の原始
乗根
となるから、定理 6.4 より
は
上巡回拡大となります(
)。
よって はガロア拡大であり、累巡回拡大となります。[証明終わり]
定理 6.10
を含む体
上の多項式
の1つの根が冪根で表されるならば
のガロア群は可解群となります。
[証明] の1つの根を
、最小分解体を
とします。定理 6.9 より体の列
で、 が巡回拡大(
)、
はガロア拡大で、
であるものが存在します。
はガロア拡大なので
の根はすべて
に含まれます。よって
は
の最小分解体を
を含みます。
はガロア拡大なので定理 5.31 より
もガロア拡大となります。
、
とおきます。定理 5.31 より
となります。
が累巡回拡大なので定理 6.2 より
は可解群となります。定理 2.30 (可解群の剰余群は可解群)より
も可解群となります。[証明終わり]

- 作者:芳沢 光雄
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