正規拡大・原始元の存在定理
ここでいったん正規拡大などの議論を考え直してみます。『現代代数学』*1、『代数学』*2 を参考にしています。復刊版があるようです。
(現代代数学) 定理 30.6
を半群
から体
の乗法群への相異なる準同型とします。このとき
(
)であるなら
が成立します。
[証明] を半群
から体
の乗法群への異なる半群の準同型、
とし
とします。
とおきます。
に関する帰納法によります。
のときは(示すべきことがないので)成り立っています。
のときは
となり
をとると
となり、
なので
となって成り立ちます。
とし
のときは成り立っていると仮定します。任意の
に対して以下のことが成り立ちます。
より
より
より
より
これは任意の に対して成り立っているので
が成り立ちます。
帰納法の仮定より のときは成り立っているので任意の
に対して
となります。
と
(
) は異なる指標なので
となる
が存在します。
なので
となります。これはすべての
に対して成り立つので
となります。
となって
のときの議論により
となります。[証明終わり]
系 30.7
を体
から体
への相異なる同型とします。このとき
(
)であるなら
が成立します。
命題 30.8
を
次の拡大、
を
の拡大体とします。このとき
を拡張する同型
の個数は
以下となります。
[証明] 個の拡張
があるとします。
の
上の基底
について連立一次方程式
(
)
は変数の個数が方程式の個数より大きいから
(
)
を満たす解 が存在します。
の任意の元
は
(
) の形に表され、
だから
(
)
となって系 30.7 に矛盾となります。[証明終わり]
定義(正規拡大)
体の代数拡大 は、以下の同値な条件を満たすとき正規拡大と呼びます。
を
の
を含む代数的閉包とします。
定理 30.9
を体
の自己同型のつくる有限群、その位数を
とし、
とおきます。このとき
は
の部分体となって、
は
次の正規拡大であり、
は
の
-自己同型の全体となります。
[証明] が
の部分体となることは明らか。
の元を
とします。これらは
個の相異なる
-自己同型
となるので命題 30.8 により
となります。
として
の元
が
上1次独立であるとします。命題 30.8 の証明と同様の論法で
(
)
を満たす解 が存在します。
このような解のうち である
の数
が最小のものを、番号をつけ直して
(*) (
)
であるとします。 となります。
をかけて最後の
を
にすることができます。
で
は
上1次独立だから
がすべて
に属することはありません。
とします。そのとき
の定義から
となる
が存在します。
(*) に を作用させると
(
)
となります。
一方 (*) は任意の で成り立つから、とくに
を入れれば
(
)
となります。
この2式の差をつくれば により
(
)
となります。
の全体 (
) は
に一致し、
であるから、これははじめの解 {
} よりも短い解を与えることになり、矛盾となります。よって
となります。
命題 30.8 により、 から
への
-同型の個数は高々
個でなければならず、
がすでに
個を与えているから、
がその全体となります。すると命題30.2 の b) (正規拡大の同値条件)により、
は正規拡大となります。[証明終わり]
定理 31.16
有限次分離拡大は単純拡大となります。
[証明] 基礎体 が有限体の場合は有限体の構造論からわかります。
が無限個の元を持つとします。
に2元を添加した場合が単純拡大であることを示せば、一般の場合は帰納法によって示すことができます。
を
の分離拡大とします。
を
-同型
の全体とします。
となります。
もし かつ
とすれば
と
は
と
に対して同じ作用となり、従って
全体で一致します。
は無限個の元を持つので
(
) を満たす
が存在します。
そのとき とおけば
のとき
これは が少なくとも
個の共役元をもつことを示し、
となります。よって
となります。[証明終わり]
定義(基本対称式)
多項式
の係数 を第
基本対称式と呼びます。
命題 33.10
任意の対称式は基本対称式の有理式として表さます。有理式体 は対称式体のガロア拡大で、そのガロア群は
となります。
[証明] 変数有理式体
に対称群
を
によって作用させれば、自己同型群をなし、その不変体
が対称式全体のつくる部分体となります。
体 は体
における分離的多項式
の最小分解体なので はガロア拡大であり、そのガロア群は
の置換からなるが、
だからガロア群は
で
となります。[証明終わり]
(代数学) 例題 29.3
代数拡大 が単純拡大であることと
の中間体の個数が有限であることは同値となります。
[証明] 、
を
の
上の最小多項式とします。
を中間体とします。
、
を
の
上の最小多項式とします。
は
の因子となります。
(
)とし
とおくと
となります。
は
の
上の最小多項式となります。
となるので
となります。よって中間体
の個数は
の因子で最高次係数
のものの個数以下であり、有限となります。
逆に中間体の個数を有限とすると、 は
から有限回の添加によって得られるから
となります。
よって が有限体ならば
も有限体であり、有限体の性質から
が単純拡大であることがわかります。
が無限体の場合
,
を
の任意の元とすると、体
(
) のうち相異なるものは有限個であるから、ある
について
が成り立ちます。
この体は を含んでいます。従って
を含み、さらに
も含みます。よって
となります。
は
に有限個の元を添加して得られるのであるから、帰納法により
が
の単純拡大となることがわかります。[証明終わり]

- 作者:服部 昭
- 発売日: 2004/04/01
- メディア: 単行本

- 作者:汎, 永尾
- 発売日: 2019/12/03
- メディア: 単行本