群論の計算(39) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

正規拡大・原始元の存在定理

ここでいったん正規拡大などの議論を考え直してみます。『現代代数学』*1、『代数学』*2 を参考にしています。復刊版があるようです。

(現代代数学) 定理 30.6

$\chi_1,\chi_2, \cdots , \chi_m$ を半群 $S$ から体 $K$ の乗法群への相異なる準同型とします。このとき $a_1\chi_1+a_2\chi_2 + \cdots + a_n \chi_m = 0$ ( $a_1, a_2, \cdots , a_m \in K$ )であるなら $a_1=a_2=\cdots=a_m=0$ が成立します。

[証明] $\chi _{1},\chi _{2},\cdots ,\chi _{n}$ を半群 $G$ から体 $K$ の乗法群への異なる半群の準同型、 $a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n} \in K$ とし $a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0$ とします。 $f = a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots + a_{n-1} \chi_{n-1} +a_{n}\chi _{n}$ とおきます。

$n$ に関する帰納法によります。 $n=0$ のときは(示すべきことがないので)成り立っています。 $n=1$ のときは $f = a_{1}\chi _{1}$ となり $x \in G$ をとると $0 = f(x)= a_{1}\chi _{1}(x)$ となり、 $\chi _{1}(x) \ne 0$ なので $a _{1}(x) \ne 0$ となって成り立ちます。

$n \ge 2$ とし $n-1$ のときは成り立っていると仮定します。任意の $x, y \in G$ に対して以下のことが成り立ちます。

$f(x) = 0$ より
$f(x) = a_1 \chi_1(x) + a_2 \chi_2(x) + \cdots + a_{n-1} \chi_{n-1}(x) + a_{n} \chi_{n}(x) = 0$

$f(yx) = 0$ より
$f(yx) = a_1 \chi_1(yx) + a_2 \chi_2(yx) + \cdots + a_{n-1} \chi_{n-1}(yx) + a_{n} \chi_{n}(yx) = 0$
$a_1 \chi_1(y) \chi_1(x) + a_2 \chi_2(y) \chi_2(x) + \cdots + a_{n-1} \chi_{n-1}(y) \chi_{n-1}(x) + a_{n} \chi_{n}(y) \chi_{n}(x) = 0$

$\chi_{n}(y) f(x) = 0$ より
$\chi_{n}(y) f(x) =$
$a_1 \chi_{n}(y) \chi_1(x) + a_2 \chi_{n}(y) \chi_2(x) + \cdots + a_{n-1} \chi_{n}(y) \chi_{n-1}(x) + a_{n} \chi_{n}(y) \chi_{n}(x) = 0$

$\chi_{n}(y) f(x) - f(yx) = 0$ より
$a_1 (\chi_{n}(y) - \chi_1(y) ) \chi_1(x) + \cdots + a_{n-1} ( \chi_{n}(y) - \chi_{n-1}(y) ) \chi_{n-1}(x) = 0$

これは任意の $x \in G$ に対して成り立っているので
$a_1 (\chi_{n}(y) - \chi_1(y) ) \chi_1 + \cdots + a_{n-1} ( \chi_{n}(y) - \chi_{n-1}(y) ) \chi_{n-1} = 0$
が成り立ちます。

帰納法の仮定より $n-1$ のときは成り立っているので任意の $y \in G$ に対して
$a_1 (\chi_{n}(y) - \chi_1(y) ) = \cdots = a_{n-1} ( \chi_{n}(y) - \chi_{n-1}(y) ) \chi_{n-1} = 0$
となります。

$\chi_{n}$ と $\chi_{i}$ ( $i \ne n$ ) は異なる指標なので $\chi_{n}(y_i) \ne \chi_{i}(y_i)$ となる $y_i \in G$ が存在します。 $a_i (\chi_{n}(y_i) - \chi_i(y_i) ) = 0$ なので $a_i = 0$ となります。これはすべての $i$ に対して成り立つので $a_1 = a_2 = \cdots = a_{n-1} = 0$ となります。

$f = a_{n}\chi _{n}$ となって $n = 1$ のときの議論により $a_n = 0$ となります。[証明終わり]

系 30.7

$\sigma_1,\sigma_2, \cdots , \sigma_m$ を体 $L$ から体 $L'$ への相異なる同型とします。このとき $a_1\sigma_1+a_2\sigma_2 + \cdots + a_n \sigma_m = 0$ ( $a_1, a_2, \cdots , a_m \in L'$ )であるなら $a_1=a_2=\cdots=a_m=0$ が成立します。

命題 30.8

$L/K$ を $n$ 次の拡大、 $M$ を $K$ の拡大体とします。このとき $\psi: K \to M$ を拡張する同型 $\sigma: L \to M$ の個数は $n$ 以下となります。

[証明] $n+1$ 個の拡張 $\sigma_1, \cdots , \sigma_{n+1}$ があるとします。 $L$ の $K$ 上の基底 $\xi_1, \cdots , \xi_n$ について連立一次方程式
$\sigma_1(\xi_i) X_1 + \cdots + \sigma_{n+1}(\xi_i) X_{n+1} = 0$ ( $i = 1, \cdots , n$ )
は変数の個数が方程式の個数より大きいから
$\sigma_1(\xi_i) \beta_1 + \cdots + \sigma_{n+1}(\xi_i) \beta_{n+1} = 0$ ( $i = 1, \cdots , n$ )
を満たす解 $(\beta_1, \cdots , \beta_{n+1} ) \ne (0, \cdots , 0)$ が存在します。 $L$ の任意の元 $\alpha$ は $\sum a_i \xi_i$ ( $a_i \in K$ ) の形に表され、 $\displaystyle \sigma_j (\alpha) = \sum_{i=1}^{n} \psi(a_i) \sigma_j (\xi_i)$ だから
$\displaystyle \sigma_1(\alpha) \beta_1 + \cdots + \sigma_{n+1}(\alpha) \beta_{n+1} = \sum_{i=1}^{n} \psi(a_i) \sum_{j=1}^{n+1} \sigma_j (\xi_i) \beta_j = 0$ ( $i = 1, \cdots , n$ )
となって系 30.7 に矛盾となります。[証明終わり]

定義(正規拡大)

体の代数拡大 $L/K$ は、以下の同値な条件を満たすとき正規拡大と呼びます。 $\bar{K}$ を $K$ の $L$ を含む代数的閉包とします。

$K$ 上恒等写像であるような $L$ の $\bar{K}$ へのすべての埋め込みは $\sigma(L) = L$ を満たす。言い換えると、 $\sigma$ は $L$ の $K$ -同型である。
$L$ に根をもつような $K[X]$ のすべての既約多項式は $L$ に根をすべてもつ。すなわち、 $L[X]$ において一次式に分解する。

定理 30.9

$G$ を体 $L$ の自己同型のつくる有限群、その位数を $n$ とし、 $K = \{ a \in L \ | \ \sigma(a) = a \ (\forall \sigma \in G) \}$ とおきます。このとき $K$ は $L$ の部分体となって、 $L/K$ は $n$ 次の正規拡大であり、 $G$ は $L$ の $K$ -自己同型の全体となります。

[証明] $K$ が $L$ の部分体となることは明らか。

$G$ の元を $\sigma_1 = 1, \cdots , \sigma_n$ とします。これらは $n$ 個の相異なる $K$ -自己同型 $L \to L$ となるので命題 30.8 により $[L:K] \ge n$ となります。

$[L:K] > n$ として $L$ の元 $\xi_1, \cdots , \xi_{n+1}$ が $K$ 上1次独立であるとします。命題 30.8 の証明と同様の論法で
$\sigma_j(\xi_1) \alpha_1 + \cdots + \sigma_j(\xi_{n+1}) \alpha_{n+1} = 0$ ( $j = 1, \cdots , n$ )
を満たす解 $(\alpha_1, \cdots , \alpha_{n+1} ) \ne (0, \cdots , 0)$ が存在します。

このような解のうち $\alpha_i \ne 0$ である $i$ の数 $r$ が最小のものを、番号をつけ直して
(*) $\sigma_j(\xi_1) \alpha_1 + \cdots + \sigma_j(\xi_{r}) \alpha_{r} = 0$ ( $j = 1, \cdots , n$ )
であるとします。 $r \ge 2$ となります。 $\alpha_r^{-1}$ をかけて最後の $\alpha_r$ を $1$ にすることができます。

$\sigma_1 = 1$ で $\xi_1, \cdots, \xi_r$ は $K$ 上1次独立だから $\alpha_i$ がすべて $K$ に属することはありません。 $\alpha_1 \not \in K$ とします。そのとき $K$ の定義から $\sigma_k(\alpha_1) \ne \alpha_1$ となる $\sigma_k$ が存在します。

(*) に $\sigma_k$ を作用させると
$(\sigma_k \sigma_j)(\xi_1) \sigma_k(\alpha_1) + \cdots + (\sigma_k \sigma_j)(\xi_{r}) \sigma_k(\alpha_{r}) = 0$ ( $j = 1, \cdots , n$ )
となります。

一方 (*) は任意の $\sigma_j$ で成り立つから、とくに $\sigma_k \sigma_j$ を入れれば
$(\sigma_k \sigma_j)(\xi_1) \alpha_1 + \cdots + (\sigma_k \sigma_j)(\xi_{r}) \alpha_{r} = 0$ ( $j = 1, \cdots , n$ )
となります。

この2式の差をつくれば $\alpha_r = 1$ により
$(\sigma_k \sigma_j)(\xi_1) (\sigma_k(\alpha_1) - \alpha_1) + \cdots + (\sigma_k \sigma_j)(\xi_{r-1}) (\sigma_k(\alpha_{r-1}) - \alpha_{r-1}) = 0$ ( $j = 1, \cdots , n$ )
となります。

$\sigma_k\sigma_j$ の全体 ( $j = 1, \cdots , n$ ) は $G$ に一致し、 $\alpha_1^{\sigma_k} - \alpha_1 \ne 0$ であるから、これははじめの解 { $\alpha_i$ } よりも短い解を与えることになり、矛盾となります。よって $[L:K] = n$ となります。

命題 30.8 により、 $L$ から $\bar{K}$ への $K$ -同型の個数は高々 $n$ 個でなければならず、 $G$ がすでに $n$ 個を与えているから、 $G$ がその全体となります。すると命題30.2 の b) (正規拡大の同値条件)により、 $L/K$ は正規拡大となります。[証明終わり]

定理 31.16

有限次分離拡大は単純拡大となります。

[証明] 基礎体 $K$ が有限体の場合は有限体の構造論からわかります。

$K$ が無限個の元を持つとします。 $K$ に2元を添加した場合が単純拡大であることを示せば、一般の場合は帰納法によって示すことができます。

$L = (\alpha, \beta)$ を $K$ の分離拡大とします。 $\sigma_1, \cdots , \sigma_n$ を $K$ -同型 $L \to \bar{K}$ の全体とします。 $n = [L:K]$ となります。

もし $\sigma_i(\alpha) - \sigma_j(\alpha) = 0$ かつ $\sigma_i(\beta) - \sigma_j(\beta) = 0$ とすれば $\sigma_i$ と $\sigma_j$ は $\alpha$ と $\beta$ に対して同じ作用となり、従って $L$ 全体で一致します。 $K$ は無限個の元を持つので $c(\sigma_i(\alpha) - \sigma_j(\alpha) \ne \sigma_i(\beta) - \sigma_j(\beta)$ ( $i \ne j, \ \ i, j = 1, \cdots , n$ ) を満たす $c \in K$ が存在します。

そのとき $\gamma = c \alpha - \beta$ とおけば $\sigma_i \ne \sigma_j$ のとき $\sigma_i(\gamma) \ne \sigma_j(\gamma)$
これは $\gamma$ が少なくとも $n$ 個の共役元をもつことを示し、 $[K(r):K] \ge n$ となります。よって $L = K(\gamma)$ となります。[証明終わり]

定義(基本対称式)

多項式
$f = (X-x_1) \cdots (X-x_n) = X^n - s_1X^{n-1} + \cdots + (-1)^ns_n$
の係数 $s_i$ を第 $i$ 基本対称式と呼びます。

命題 33.10

任意の対称式は基本対称式の有理式として表さます。有理式体 $K(x_1, \cdots , x_n)$ は対称式体のガロア拡大で、そのガロア群は $S_n$ となります。

[証明] $n$ 変数有理式体 $K(x_1, ..., x_n)$ に対称群 $S_n$ を $f^\sigma(x_1, \cdots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, \cdots , x_{\sigma(n)})$ によって作用させれば、自己同型群をなし、その不変体 $F(S_n)$ が対称式全体のつくる部分体となります。

体 $K(x_1, \cdots , x_n)$ は体 $K(s_1, \cdots , s_n)$ における分離的多項式
$f = (X-x_1) \cdots (X-x_n) = X^n - s_1X^{n-1} + \cdots + (-1)^ns_n$
の最小分解体なので $K(x_1, \cdots , x_n)/K(s_1, \cdots , s_n)$ はガロア拡大であり、そのガロア群は $\{x_1, \cdots , x_n\}$ の置換からなるが、 $F(S_n) \supseteq K(s_1, \cdots , s_n)$ だからガロア群は $S_n$ で $F(S_n) = K(s_1, \cdots , s_n)$ となります。[証明終わり]

(代数学) 例題 29.3

代数拡大 $L/K$ が単純拡大であることと $L/K$ の中間体の個数が有限であることは同値となります。

[証明] $L=K(\alpha )$ 、 $f$ を $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式とします。 $M$ を中間体とします。 $L=M(\alpha )$ 、 $g$ を $\alpha$ の $M$ 上の最小多項式とします。

$g$ は $f$ の因子となります。 $g = X^m + a_1 X^{m-1} + \cdots + a_m$ ( $a_i \in M$ )とし $M' = K(a_1, a_2, \cdots , a_m)$ とおくと $M' \subseteq M$ となります。 $g$ は $\alpha$ の $M$ 上の最小多項式となります。 $[L : M'] = [L : M]$ となるので $M' = M$ となります。よって中間体 $M$ の個数は $f$ の因子で最高次係数 $1$ のものの個数以下であり、有限となります。

逆に中間体の個数を有限とすると、 $L$ は $K$ から有限回の添加によって得られるから $[L : K] < \infty$ となります。

よって $K$ が有限体ならば $L$ も有限体であり、有限体の性質から $L/K$ が単純拡大であることがわかります。

$K$ が無限体の場合 $\alpha$ , $\beta$ を $L$ の任意の元とすると、体 $K(\alpha + c \beta)$ ( $c \in K$ ) のうち相異なるものは有限個であるから、ある $c_1 \ne c_2$ について $K(\alpha + c_1 \beta) = K(\alpha + c_2 \beta)$ が成り立ちます。

この体は $(c_1 - c_2) \beta$ を含んでいます。従って $\beta$ を含み、さらに $\alpha = ( \alpha + c_1 \beta ) - c_1 \beta$ も含みます。よって $K(\alpha , \beta) = K(\alpha + c_1 \beta)$ となります。