半環上のフラクタル代数(5) - エレファント・コンピューティング調査報告

ここでは環上の多項式環に対応するものについて考えてみます。これは Prolog の実行順序の説明で必要となります。まず「群論の計算」の記事で説明した環上のモノイド代数についてもう一度説明します。

環上のモノイド代数

ここでは半環の場合も含めて考えます。半環の場合は半環上のモノイドフラクタル代数と呼ぶことにします。

$R$ を単位元を持つ自明ではない半環、 $M$ をモノイドとします。
$R[M] = \{ \xi : M \to R \ | \ 有限個の x \in M を除いて \ \xi(x) = 0 \}$
とおきます。
$R[M]$ に二項演算、加法 $+: R[M] \times R[M] \to R[M]$ と乗法 $\cdot: R[M] \times R[M] \to R[M]$ ( $\xi \cdot \eta$ を $\xi \eta$ と書くこともあります)を

$(\xi + \eta) (x) = \xi(x) + \eta(x)$
$\displaystyle (\xi \eta) (x) = \sum_{x=yz} \xi(y) \eta(z)$

と定義します。乗法は $\xi(y) \ne 0$ 、 $\eta(z) \ne 0$ であるものの和として定義します。以下のように $R[M]$ は単位元を持つ自明ではない半環となります。

加法の結合法則、交換法則

加法の結合法則、交換法則は、 $R$ が加法に関して可換モノイドであることからわかります。

加法の単位元

$\psi_0 \in R[M]$ を任意の $x \in M$ に対して $\psi_0(x) = 0$ であるような写像とすると $\psi_0$ は加法の単位元となります。

以上により $R[M]$ は加法に関して可換モノイドとなります。

加法の逆元

$R$ が環であるときは加法の逆元が存在するので、 $\xi \in R[M]$ に対して $-\xi \in R[M]$ を任意の $x \in M$ に対して $(-\xi)(x) = -\xi(x)$ であるような写像とすると $-\xi$ は $\xi$ の加法の逆元となります。

以上により $R$ が環であるとき $R[M]$ は加法に関してアーベル群となります。

乗法の結合法則

$\xi, \eta, \zeta \in R[M]$ に対して
$\displaystyle (\xi \eta) (u) = \sum_{u=xy} \xi(x) \eta(y)$ より
$\displaystyle ( (\xi \eta) \zeta ) (v) = \sum_{v=uz} (\xi \eta)(u) \zeta(v) = \sum_{v=uz} \left(\sum_{u=xy} \xi(x) \eta(y)\right) \zeta(z)$
$\displaystyle = \sum_{v=uz} \sum_{u=xy} \left(\xi(x) \eta(y)\right) \zeta(z) = \sum_{v=xyz} \left(\xi(x) \eta(y)\right) \zeta(z)$ 、
$\displaystyle (\eta \zeta) (w) = \sum_{w=yz} \eta(y) \zeta(z)$ より
$\displaystyle (\xi ( \eta \zeta) ) (v) = \sum_{v=xw} \xi(x) (\eta \zeta)(w) = \sum_{v=xw} \xi(x) \left(\sum_{w=yz} \eta(y) \zeta(z) \right)$
$\displaystyle = \sum_{v=xw} \sum_{w=yz} \xi(x) \left(\eta(y) \zeta(z)\right) = \sum_{v=xyz} \xi(x) \left(\eta(y) \zeta(z\right))$
となるので $(\xi \eta) \zeta = \xi (\eta \zeta)$ となります。よって $R$ の乗法の結合法則から $R[M]$ の乗法の結合法則が成り立ちます。

乗法の単位元

$\psi_1 \in R[M]$ を $M$ の単位元 $1$ に対して $\psi_1(1) = 1$ 、 $1$ 以外の任意の $x \in M$ に対して $\psi_1(x) = 0$ であるような写像とします。
$\xi, \eta \in R[M]$ に対して $\displaystyle (\xi \eta) (u) = \sum_{u=xy} \xi(x) \eta(y)$ より
$\displaystyle (\xi \psi_1) (u) = \sum_{u=xy} \xi(x) \psi_1(y) = \sum_{u=x} \xi(x) \psi_1(1) = \xi(u) \cdot 1 = \xi(u)$ 、
$\displaystyle (\psi_1 \xi) (u) = \sum_{u=xy} \psi_1(x) \xi(y) = \sum_{u=y} \psi_1(1) \xi(u) = 1 \cdot \xi(u) = \xi(u)$
となって $\xi \psi_1 = \psi_1 \xi = \xi$ となります。よって $\psi_1$ は乗法の単位元となります。

以上により $R[M]$ は乗法に関してモノイドとなります。

乗法の加法に対する分配法則

$\xi, \eta, \zeta \in R[M]$ に対して
$\displaystyle (\xi (\eta + \zeta)) (u) = \sum_{u=xy} \xi(x) (\eta(y) + \zeta(y)) = \sum_{u=xy} (\xi(x) \eta(y) + \xi(x) \zeta(y))$
$\displaystyle = \sum_{u=xy} \xi(x) \eta(y) + \sum_{u=xy} \xi(x) \zeta(y) = (\xi \eta)(u) + (\xi \zeta)(u)$
となって $\xi (\eta + \zeta) = \xi \eta + \xi \zeta$ となります。
$\displaystyle ( (\xi + \eta) \zeta) (u) = \sum_{u=xy} (\xi(x) +\eta(x)) \zeta(y) = \sum_{u=xy} (\xi(x) \zeta(y) + \eta(x) \zeta(y))$
$\displaystyle = \sum_{u=xy} \xi(x) \zeta(y) + \sum_{u=xy} \eta(x) \zeta(y) = (\xi \zeta)(u) + (\eta \zeta)(u)$
となって $(\xi + \eta) \zeta = \xi \zeta + \eta \zeta$ となります。
よって乗法の加法に対する分配法則が成り立ちます。

以上により $R[M]$ は単位元を持つ半環となります。 $R$ が自明ではないならば $R[M]$ は単位元を持つ自明ではない半環となります。 $R$ が可換ならば $R[M]$ も可換となります。 $R$ が環ならば $R[M]$ も環となります。

$r \in R$ と $\xi \in R[M]$ の乗法 $\cdot : R \times R[M] \to R[M]$ ( $\cdot$ は省略することもあります)を $(r \xi)(x) = r \xi(x)$ と定義します。

$R$ が環であるとき、 $R[M]$ を $R$ 上のモノイド代数と呼びます。 $M$ が可換のときは環上の結合代数となります。

$R$ が環で、 $M$ が $\{X_1, X_2, \cdots , X_n\}$ で生成された自由可換モノイドであるとき $R[M]$ は多項式環 $R[X_1, X_2, \cdots , X_n]$ となります。

$\alpha : R \to R[M]$ を $\alpha(r) = r \cdot 1_M$ とおくと $\alpha$ は単射の半環の準同型となります。 $\beta : M \to R[M]$ を $\beta(x) = 1_R \cdot x$ とおくと $\beta$ は単射のモノイドの準同型となります( $R[M]$ は乗法に関するモノイド)。任意の $r \in R$ と $x \in M$ に対して $\alpha(r) \beta(x) = \beta(x) \alpha(r)$ となります。