現代数学のエレファント(3) - 非専門的シンギュラリティー研究所

さらに準備をしていきます。

テンソル積

$V$ を体 $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間、 $\{e_1, e_2, \cdots , e_n\}$ を基底とします。
$E_k = \{e_{ { i_{1} } } \otimes e_{ {i_{2} }} \otimes \cdots \otimes e_{ { i_{k} } } \mid 1 \leq i_{1}, i_{2}, \cdots , i_{k} \leq n\}$
を基底とする $K$ 上のベクトル空間(に以下のような演算を定義したもの)を $k$ -次テンソル冪と呼び $T^k(V) = V^{\otimes k} = V\otimes V \otimes \cdots \otimes V$ ( $k$ 個)と書きます(この定義はWikipediaによる)。 $T^k(V)$ の次元は $n^k$ となります。

これらのベクトル空間の直和(すべての $E_k$ を基底とする無限次元ベクトル空間)
$\displaystyle T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^k(V) = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots$
(に以下のような演算を定義したもの)を外積代数と呼びます(この定義はWikipediaによる)。ここで $T^0(V) = K$ 、 $T^1(V) = V$ とします。

$T(V)$ に演算 $\otimes : T(V) \times T(V) \to T(V)$ を定義します。

まず $V \times V$ に制限した演算を考えます。
$\otimes_1 : V \times V \to V \otimes V$ を
$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} a_i e_i\right) \otimes_1 \left(\sum_{j=1}^{n} b_j e_j\right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i b_j (e_i \otimes e_j)$
と定義します。

(双線型性)
- 任意の $u, v, w \in V$ に対して $(u + v) \otimes_1 w = (u \otimes_1 w) + (v \otimes_1 w)$
- 任意の $u, v, w \in V$ に対して $u \otimes_1 (v + w) = (u \otimes_1 w) + (v \otimes_1 w)$
- 任意の $u, v \in V$ 、任意の $a \in K$ に対して $au \otimes_1 v = u \otimes_1 av = a(u \otimes_1 v)$

が成り立ちます。

$\otimes_k : T^k (V) \times V \to T^{k+1} (V)$ を $k=1$ のときは $\otimes_1$ 、 $k \ge 2$ のときは
$(e_{ { i_{1} } } \otimes e_{ {i_{2} }} \otimes \cdots \otimes e_{ { i_{k} } }) \otimes_k e_j = e_{ { i_{1} } } \otimes e_{ {i_{2} }} \otimes \cdots \otimes e_{ { i_{k} } } \otimes e_j$
と帰納的に定義します。

これを繰り返して $\otimes_{k,l} : T^k (V) \times T^l (V) \to T^{k+l} (V)$ を定義することができます。

(結合性)
- 任意の $x \in T^k (V)$ 、 $y \in T^l (V)$ 、 $z \in T^m (V)$ に対して $(x \otimes_{k,l} y) \otimes_{k+l,m} z = x \otimes_{k,l+m} (y \otimes_{l,m} z)$
(双線型性)
- 任意の $x, y \in T^k (V)$ 、 $z \in T^l (V)$ に対して $(x + y) \otimes_{k,l} z = (x \otimes_{k,l} z) + (y \otimes_{k,l} z)$
- 任意の $x \in T^k (V)$ 、 $y, z \in T^l (V)$ に対して $x \otimes_{k,l} (y + z) = (x \otimes_{k,l} y) + (x \otimes_{k,l} z)$
- 任意の $x \in T^k (V)$ 、 $y \in T^l (V)$ 、任意の $a \in K$ に対して $ax \otimes_{k,l} y = x \otimes_{k,l} ay = a(x \otimes_{k,l} y)$

が成り立ちます。

$\otimes_{*} : T(V) \times T(V) \to T(V)$ を
$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} x_i \right) \otimes_* \left(\sum_{j=1}^{n} y_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (x_i \otimes_{i,j} y_j)$
( $x_i \in T^i (V)$ 、 $y_j \in T^j (V)$ )と定義すると

(結合性)
- 任意の $x, y, z \in T(V)$ に対して $(x \otimes_{*} y) \otimes_{*} z = x \otimes_{*} (y \otimes_{*} z)$
(双線型性)
- 任意の $x, y, z \in T(V)$ に対して $(x + y) \otimes_{*} z = (x \otimes_{*} z) + (y \otimes_{*} z)$
- 任意の $x, y, z \in T(V)$ に対して $x \otimes_{*} (y + z) = (x \otimes_{*} y) + (x \otimes_{*} z)$
- 任意の $x, y \in T(V)$ 、任意の $a \in K$ に対して $ax \otimes_{*} y = x \otimes_{*} ay = a(x \otimes_{*} y)$

が成り立ちます。

$\otimes_*$ を $\otimes$ と書くと $\bigwedge (V)$ に演算 $\otimes : T(V) \times T(V) \to T(V)$ が定義できます。

(結合性)
- 任意の $x, y, z \in T(V)$ に対して $(x \otimes y) \otimes z = x \otimes (y \otimes z)$
(双線型性)
- 任意の $x, y, z \in T(V)$ に対して $(x + y) \otimes z = (x \otimes z) + (y \otimes z)$
- 任意の $x, y, z \in T(V)$ に対して $x \otimes (y + z) = (x \otimes y) + (x \otimes z)$
- 任意の $x, y \in T(V)$ 、任意の $a \in K$ に対して $ax \otimes y = x \otimes ay = a(x \otimes y)$

が成り立ちます。 $T(V)$ は体 $K$ 上の単位的結合代数となります。