さらに準備をしていきます。
テンソル積
を体 上の 次元ベクトル空間、 を基底とします。
を基底とする 上のベクトル空間(に以下のような演算を定義したもの)を -次テンソル冪と呼び ( 個)と書きます(この定義はWikipediaによる)。 の次元は となります。
これらのベクトル空間の直和(すべての を基底とする無限次元ベクトル空間)
(に以下のような演算を定義したもの)を外積代数と呼びます(この定義はWikipediaによる)。ここで 、 とします。
に演算 を定義します。
まず に制限した演算を考えます。
を
と定義します。
- (双線型性)
- 任意の に対して
- 任意の に対して
- 任意の 、任意の に対して
が成り立ちます。
を のときは 、 のときは
と帰納的に定義します。
これを繰り返して を定義することができます。
- (結合性)
- 任意の 、、 に対して
- (双線型性)
- 任意の 、 に対して
- 任意の 、 に対して
- 任意の 、、任意の に対して
が成り立ちます。
を
(、)と定義すると
- (結合性)
- 任意の に対して
- (双線型性)
- 任意の に対して
- 任意の に対して
- 任意の 、任意の に対して
が成り立ちます。
を と書くと に演算 が定義できます。
- (結合性)
- 任意の に対して
- (双線型性)
- 任意の に対して
- 任意の に対して
- 任意の 、任意の に対して
が成り立ちます。 は体 上の単位的結合代数となります。