エレファント・ビジュアライザー調査記録

ビジュアルプログラミングで数式の変形を表すことを考えていくブロクです。

現代数学のエレファント(4)

逆行列

行列式を使って逆行列を表します。

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}、 x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix}、 y = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \\ \end{pmatrix}
として Ax = y、すなわち
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \\ \end{pmatrix} とします。

E を単位行列 E = (\delta_{ij}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} とします。ここで \delta_{ij} は
\delta_{ij} = \begin{cases} 0 & (i \ne j \ のとき) \\ 1 & (i = j \ のとき) \end{cases}
を表すものとします。 E の i 列目を e_i = \begin{pmatrix} \delta_{1i} \\ \delta_{2i} \\ \vdots \\ \delta_{ni} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} ( i 行目が 1)とおきます。

a_i = A e_i は A の i 列目となります。このとき A = \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix} のように書くことにします。

Ax = y と A e_i = a_i から
\begin{eqnarray*} & & A \begin{pmatrix} e_{1} & \cdots & e_{k-1} & x & e_{k+1} & \cdots & e_{n} \end{pmatrix} \\ & = & \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{k-1} & y & a_{k+1} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}
となります。この行列式を考えると
\begin{eqnarray*} & & (\det A) \cdot (\det \begin{pmatrix} e_{1} & \cdots & e_{k-1} & x & e_{k+1} & \cdots & e_{n} \end{pmatrix}) \\ & = & \det \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{k-1} & y & a_{k+1} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}
となって \det \begin{pmatrix} e_{1} & \cdots & e_{k-1} & x & e_{k+1} & \cdots & e_{n} \end{pmatrix} = x_k なので \det A \ne 0 のとき
x_k = \cfrac{1}{\det A} \det \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{k-1} & y & a_{k+1} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix}、
x = \cfrac{1}{\det A} \begin{pmatrix} \det \begin{pmatrix} y & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix} \\ \vdots \\ \det \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & y \end{pmatrix} \\ \end{pmatrix}
となります。

A の逆行列を
B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\ \end{pmatrix} とします。 b_i = B e_i とおくと B = \begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} \end{pmatrix} となります。

AB = E より Ab_i = e_i となるので \det A \ne 0 のとき
b_i = \cfrac{1}{\det A} \begin{pmatrix} \det \begin{pmatrix} e_i & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix} \\ \vdots \\ \det \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & e_i \end{pmatrix} \\ \end{pmatrix} となります。よって
\begin{eqnarray*} B & = & \begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} \end{pmatrix} \\ & = & \cfrac{1}{\det A} \begin{pmatrix} \det \begin{pmatrix} e_1 & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix} & \cdots & \det \begin{pmatrix} e_n & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \det \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & e_1 \end{pmatrix} & \cdots & \det \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & e_n \end{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}
と行列式で表すことができます。

スッキリわかる線形代数―解法テクニックつき

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