現代数学のエレファント(5) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

行列式

行列式の定義

$V$ を体 $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間、 $W$ を体 $K$ 上の $m$ 次元ベクトル空間とします。 $f: V \to W$ が

任意の $u, v \in V$ に対して $f(u + v) = f(u) + f(v)$
任意の $v \in V$ 、任意の $a \in K$ に対して $f(av) = af(v)$

を満たすとき、 $V$ から $W$ への線型写像と呼びます。 $V$ から $W$ への線型写像の全体を $\mathcal{L}(V, W)$ と書くことにします。 $\mathcal{L}(V, W)$ に和とスカラー倍を

$f, g \in \mathcal{L}(V, W)$ に対して $(f + g)(v) = f(v) + g(v) \ (v \in V)$
$f \in \mathcal{L}(V, W)$ 、 $a \in K$ に対して $(af)(v) = f(av) \ (v \in V)$

と定義すると $K$ 上の $mn$ 次元ベクトル空間となります。

$V^{*} = \mathcal{L}(V, K)$ を $V$ の双対空間と呼びます。

$\{e_1, e_2, \cdots , e_n\}$ を $V$ の基底、 $\{e'_1, e'_2, \cdots , e'_m\}$ を $W$ の基底、 $f_j \in V^{*}$ を $f_j(e_i) = \delta_{ij}$ 、 $g_i \in \mathcal{L}(K, W)$ を $g_i(a) = ae'_i$ とおくと、 $\mathcal{L}(V, W)$ の元は $\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j$ ( $a_{ij} \in K$ )と表すことができます。

$V$ を体 $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間、 $\{e_1, e_2, \cdots , e_n\}$ を基底、 $\varphi: V \to V$ を線型写像とするとき、 $\bigwedge^{n}(V)$ は1次元で $e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n}$ が基底となるので、線型写像 $\varphi^{\wedge n} : \bigwedge^{n} (V) \to \bigwedge^{n} (V)$ を $\varphi^{\wedge n} ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) = \varphi (e_{1}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n})$ と定義することができます。

$\wedge^{n} : \mathcal{L}(V, V) \to \mathcal{L}(\bigwedge^{n} (V), \bigwedge^{n} (V))$ を $\wedge^{n}(\varphi) = \varphi^{\wedge n}$ となる写像とすると、 $\wedge^{n}$ は線型写像となります。よって $a \in K$ が存在して $\varphi^{\wedge n} ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) = a( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} )$ となります。この $a$ を $\varphi$ の行列式と呼び $\det \varphi$ と書きます(以前Wikipediaに従ってこのように定義しました)。 $\varphi \in \mathcal{L}(V, V)$ を $\det \varphi \in K$ に対応させる写像 $\det : \mathcal{L}(V, V) \to K$ は線型写像となります。

行列式の展開

$\{e_1, e_2, \cdots , e_n\}$ を $V$ の基底、 $f_j \in V^{*}$ を $f_j(e_i) = \delta_{ij}$ 、 $g_i \in \mathcal{L}(K, V)$ を $g_i(a) = ae_i$ とおくと、 $\varphi \in \mathcal{L}(V, V)$ は $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j$ ( $a_{ij} \in K$ )と表すことができます。

$\bar{d}_i(e_j) = (1 - \delta_{ij}) e_j$ 、 $\varphi'_i = \bar{d}_i \circ \varphi$ とおきます。

行列式の列に関する展開
$\begin{eqnarray*} \varphi^{\wedge n} ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) & = & \varphi (e_{1}) \wedge \varphi (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n}) \\ & = & (a_{11} e_{1} + a_{21} e_{2} + \cdots + a_{n1} e_{n}) \wedge \varphi (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n}) \\ & = & \sum_{i=1}^{n} a_{i1} (e_{i} \wedge \varphi (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n})) \\ & = & \sum_{i=1}^{n} a_{i1} (e_{i} \wedge \varphi'_i (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_i (e_{n})) \\ & = & a_{11} (e_{1} \wedge \varphi'_1 (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_1 (e_{n})) \\ & + & a_{21} (e_{2} \wedge \varphi'_2 (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_2 (e_{n})) \\ & + & \\ & \vdots & \\ & + & a_{n1} (e_{n} \wedge \varphi'_n (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_n (e_{n})) \\ \end{eqnarray*}$
が成り立ちます。これは任意の列に対して成り立ちます。

また、行列式の行に関する展開
$\begin{eqnarray*} \varphi^{\wedge n} ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) & = & \varphi (e_{1}) \wedge \varphi (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n}) \\ & = & (a_{11} e_{1} + \varphi'_1 (e_{1})) \wedge (a_{12} e_{1} + \varphi'_1 (e_{2})) \wedge \cdots \wedge (a_{1n} e_{1} + \varphi'_1 (e_{n})) \\ & = & a_{11} (e_{1} \wedge \varphi'_1 (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_1 (e_{n})) \\ & + & a_{12} (\varphi'_1 (e_{1}) \wedge e_{1} \wedge \cdots \wedge \varphi'_1 (e_{n})) \\ & + & \\ & \vdots & \\ & + & a_{1n} (\varphi'_1 (e_{1}) \wedge \varphi'_1 (e_{2}) \wedge \cdots \wedge e_{1}) \\ \end{eqnarray*}$
が成り立ちます。これは任意の行に対して成り立ちます。

$\varphi$ の行列を $A$ とします。行に関する展開は $A$ の転置行列(行と列を入れ替えた行列) $^tA$ の列に関する展開となります。よって $n$ に関する帰納法により $\det {^t}A = \det A$ が成り立ちます。

$\varphi$ の転置行列が表す線型写像は $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_j f_i$ と表すことができます。 $\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j = \bigwedge_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} a_{ij} g_j f_i$ となります。

交代多重線型形式

$V$ を体 $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間、 $\{e_1, e_2, \cdots , e_n\}$ を基底とします。 $f: V^n \to K$ を

(多重線型性)
- 任意の $u_1, \cdots, u_{k-1}, u_{k+1}, \cdots, u_n, v, w \in V$ に対して $f(u_1, \cdots, u_{k-1}, v + w, u_{k+1}, \cdots, u_n)$ $= f(u_1, \cdots, u_{k-1}, v, u_{k+1}, \cdots, u_n) + f(u_1, \cdots, u_{k-1}, w, u_{k+1}, \cdots, u_n)$
- 任意の $u_1, \cdots, u_{k-1}, v, u_{k+1}, \cdots, u_n, v \in V$ 、任意の $a \in K$ に対して $f(u_1, \cdots, u_{k-1}, a v, u_{k+1}, \cdots, u_n)$ $= a f(u_1, \cdots, u_{k-1}, v, u_{k+1}, \cdots, u_n)$
(交代性)
- 任意の $u_1, \cdots, u_{k-1}, u_{k+1}, \cdots, u_{l-1}, u_{l+1}, \cdots, u_n, v \in V$ 、 $k \ne l$ に対して $f(u_1, \cdots, u_{k-1}, v, u_{k+1}, \cdots, u_{l-1}, v, u_{l+1}, \cdots, u_n) = 0$

を満たすものとします。

$\varphi: V \to V$ を線型写像とします。

列に関する展開
$\begin{eqnarray*} f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) & = & f(a_{11} e_{1} + a_{21} e_{2} + \cdots + a_{n1} e_{n}, \varphi (e_{2}), \cdots, \varphi (e_{n})) \\ & = & a_{11} f(e_{1}, \varphi'_1 (e_{2}), \cdots, \varphi'_1 (e_{n})) \\ & + & a_{21} f(e_{2}, \varphi'_2 (e_{2}), \cdots, \varphi'_2 (e_{n})) \\ & + & \\ & \vdots & \\ & + & a_{n1} f(e_{n}, \varphi'_n (e_{2}), \cdots, \varphi'_n (e_{n})) \\ \end{eqnarray*}$
が成り立ちます。これは任意の列に対して成り立ちます。この展開は行列式の列に関する展開と同じなので $n$ に関する帰納法により $f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) = (\det \varphi) f(e_{1}, \cdots, e_{n})$ が成り立ちます。よってこの展開によって行列式を定義することができます。

また、行に関する展開
$\begin{eqnarray*} f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) & = & f(a_{11} e_{1} + \varphi'_1 (e_{1}), a_{12} e_{1} + \varphi'_1 (e_{2}), \cdots, a_{1n} e_{1} + \varphi'_1 (e_{n})) \\ & = & a_{11} f(e_{1}, \varphi'_1 (e_{2}), \cdots, \varphi'_1 (e_{n})) \\ & + & a_{12} f(\varphi'_1 (e_{1}), e_{1}, \cdots, \varphi'_1 (e_{n})) \\ & + & \\ & \vdots & \\ & + & a_{1n} f(\varphi'_1 (e_{1}), \varphi'_1 (e_{2}), \cdots, e_{1}) \\ \end{eqnarray*}$
が成り立ちます。これは任意の行に対して成り立ちます。

$\varphi, \psi: V \to V$ を線型写像とします。 $v_1, \cdots, v_n \in V$ に対して $L(v_1, \cdots, v_n) \in \mathcal{L}(V, V)$ を $e_i$ を $v_i$ に写す線型写像とします。 $f: V^n \to K$ を $f(v_1, \cdots, v_n) = \det (\psi \circ L(v_1, \cdots, v_n))$ とおくと、 $f$ は多重線型性、交代性を満たすので、 $f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) = (\det \varphi) f(e_{1}, \cdots, e_{n})$ が成り立ちます。
$f(e_{1}, \cdots, e_{n}) = \det (\psi \circ L(e_{1}, \cdots, e_{n})) = \det (\psi)$ 、
$f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) = \det (\psi \circ L(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n}))) = \det (\psi \circ \varphi)$
より $\det (\psi \circ \varphi) = (\det \psi) (\det \varphi)$ が成り立ちます。

$\displaystyle \psi = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j$ 、 $\displaystyle \varphi = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} b_{ij} g_i f_j$ とすると $f_j g_k = \delta_{jk} 1$ より
$\begin{eqnarray*} \psi \circ \varphi & = & (\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j) \circ (\sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} b_{kl} g_k f_l) \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} a_{ij} b_{kl} g_i f_j g_k f_l \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} \delta_{jk} a_{ij} b_{kl} g_i f_l \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} a_{ij} b_{jl} g_i f_l \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} \left(\sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jl}\right) g_i f_l \\ \end{eqnarray*}$
となり
$\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\right) g_i f_j = \left( \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j \right) \left( \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j \right)$
となります。