行列式
行列式の定義
を体
上の
次元ベクトル空間、
を体
上の
次元ベクトル空間とします。
が
- 任意の
に対して
- 任意の
、任意の
に対して
を満たすとき、 から
への線型写像と呼びます。
から
への線型写像の全体を
と書くことにします。
に和とスカラー倍を
に対して
、
に対して
と定義すると 上の
次元ベクトル空間となります。
を
の双対空間と呼びます。
を
の基底、
を
の基底、
を
、
を
とおくと、
の元は
(
)と表すことができます。
を体
上の
次元ベクトル空間、
を基底、
を線型写像とするとき、
は1次元で
が基底となるので、線型写像
を
と定義することができます。
を
となる写像とすると、
は線型写像となります。よって
が存在して
となります。この
を
の行列式と呼び
と書きます(以前Wikipediaに従ってこのように定義しました)。
を
に対応させる写像
は線型写像となります。
行列式の展開
を
の基底、
を
、
を
とおくと、
は
(
)と表すことができます。
、
とおきます。
行列式の列に関する展開
が成り立ちます。これは任意の列に対して成り立ちます。
また、行列式の行に関する展開
が成り立ちます。これは任意の行に対して成り立ちます。
の行列を
とします。行に関する展開は
の転置行列(行と列を入れ替えた行列)
の列に関する展開となります。よって
に関する帰納法により
が成り立ちます。
の転置行列が表す線型写像は
と表すことができます。
となります。
交代多重線型形式
を体
上の
次元ベクトル空間、
を基底とします。
を
- (多重線型性)
- 任意の
に対して
- 任意の
、任意の
に対して
- 任意の
- (交代性)
- 任意の
、
に対して
- 任意の
を満たすものとします。
を線型写像とします。
列に関する展開
が成り立ちます。これは任意の列に対して成り立ちます。この展開は行列式の列に関する展開と同じなので に関する帰納法により
が成り立ちます。よってこの展開によって行列式を定義することができます。
また、行に関する展開
が成り立ちます。これは任意の行に対して成り立ちます。
を線型写像とします。
に対して
を
を
に写す線型写像とします。
を
とおくと、
は多重線型性、交代性を満たすので、
が成り立ちます。
、
より が成り立ちます。
、
とすると
より
となり
となります。

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