エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

現代数学のエレファント(5)

行列式

行列式の定義

 V を体  K 上の  n 次元ベクトル空間、 W を体  K 上の  m 次元ベクトル空間とします。 f: V \to W

  • 任意の  u, v \in V に対して  f(u + v) = f(u) + f(v)
  • 任意の  v \in V、任意の  a \in K に対して  f(av) = af(v)

を満たすとき、 V から  W への線型写像と呼びます。 V から  W への線型写像の全体を  \mathcal{L}(V, W) と書くことにします。 \mathcal{L}(V, W) に和とスカラー倍を

  •  f, g \in \mathcal{L}(V, W) に対して  (f + g)(v) = f(v) + g(v) \ (v \in V)
  •  f \in \mathcal{L}(V, W) a \in K に対して  (af)(v) = f(av) \ (v \in V)

と定義すると  K 上の  mn 次元ベクトル空間となります。

 V^{*} = \mathcal{L}(V, K) V の双対空間と呼びます。

 \{e_1, e_2, \cdots , e_n\} V の基底、 \{e'_1, e'_2, \cdots , e'_m\} W の基底、 f_j \in V^{*} f_j(e_i) = \delta_{ij} g_i \in \mathcal{L}(K, W) g_i(a) = ae'_i とおくと、 \mathcal{L}(V, W) の元は  \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j ( a_{ij} \in K)と表すことができます。

 V を体  K 上の  n 次元ベクトル空間、 \{e_1, e_2, \cdots , e_n\} を基底、 \varphi: V \to V線型写像とするとき、 \bigwedge^{n}(V) は1次元で  e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} が基底となるので、線型写像  \varphi^{\wedge n} : \bigwedge^{n} (V) \to \bigwedge^{n} (V) \varphi^{\wedge n} ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) = \varphi (e_{1}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n}) と定義することができます。

 \wedge^{n} : \mathcal{L}(V, V) \to \mathcal{L}(\bigwedge^{n} (V), \bigwedge^{n} (V)) \wedge^{n}(\varphi) = \varphi^{\wedge n} となる写像とすると、 \wedge^{n}線型写像となります。よって  a \in K が存在して  \varphi^{\wedge n} ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) = a( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) となります。この  a \varphi行列式と呼び  \det \varphi と書きます(以前Wikipediaに従ってこのように定義しました)。 \varphi \in \mathcal{L}(V, V) \det \varphi \in K に対応させる写像  \det : \mathcal{L}(V, V) \to K線型写像となります。

行列式の展開

 \{e_1, e_2, \cdots , e_n\} V の基底、 f_j \in V^{*} f_j(e_i) = \delta_{ij} g_i \in \mathcal{L}(K, V) g_i(a) = ae_i とおくと、 \varphi \in \mathcal{L}(V, V) \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j ( a_{ij} \in K)と表すことができます。

 \bar{d}_i(e_j) = (1 - \delta_{ij}) e_j \varphi'_i = \bar{d}_i \circ \varphi とおきます。

行列式の列に関する展開
 \begin{eqnarray*}
\varphi^{\wedge n} ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) & = & \varphi (e_{1}) \wedge \varphi (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n}) \\
 & = & (a_{11} e_{1} + a_{21} e_{2} + \cdots + a_{n1} e_{n}) \wedge \varphi (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n}) \\
 & = & \sum_{i=1}^{n} a_{i1} (e_{i} \wedge \varphi (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n})) \\
 & = & \sum_{i=1}^{n} a_{i1} (e_{i} \wedge \varphi'_i (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_i (e_{n})) \\
 & = & a_{11} (e_{1} \wedge \varphi'_1 (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & + & a_{21} (e_{2} \wedge \varphi'_2 (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_2 (e_{n})) \\
 & + & \\
 & \vdots & \\
 & + & a_{n1} (e_{n} \wedge \varphi'_n (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_n (e_{n})) \\
\end{eqnarray*}
が成り立ちます。これは任意の列に対して成り立ちます。

また、行列式の行に関する展開
 \begin{eqnarray*}
\varphi^{\wedge n} ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) & = & \varphi (e_{1}) \wedge \varphi (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n}) \\
 & = & (a_{11} e_{1} + \varphi'_1 (e_{1})) \wedge (a_{12} e_{1} + \varphi'_1 (e_{2})) \wedge \cdots \wedge (a_{1n} e_{1} + \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & = & a_{11} (e_{1} \wedge \varphi'_1 (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & + & a_{12} (\varphi'_1 (e_{1}) \wedge e_{1} \wedge \cdots \wedge \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & + & \\
 & \vdots & \\
 & + & a_{1n} (\varphi'_1 (e_{1}) \wedge \varphi'_1 (e_{2}) \wedge \cdots \wedge e_{1}) \\
\end{eqnarray*}
が成り立ちます。これは任意の行に対して成り立ちます。

 \varphi の行列を  A とします。行に関する展開は  A の転置行列(行と列を入れ替えた行列)  ^tA の列に関する展開となります。よって  n に関する帰納法により  \det {^t}A = \det A が成り立ちます。

 \varphi の転置行列が表す線型写像 \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_j f_i と表すことができます。 \displaystyle \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j = \bigwedge_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} a_{ij} g_j f_i となります。

交代多重線型形式

 V を体  K 上の  n 次元ベクトル空間、 \{e_1, e_2, \cdots , e_n\} を基底とします。 f: V^n \to K

  • (多重線型性)
    • 任意の  u_1, \cdots, u_{k-1}, u_{k+1}, \cdots, u_n, v, w \in V に対して  f(u_1, \cdots, u_{k-1}, v + w, u_{k+1}, \cdots, u_n)  = f(u_1, \cdots, u_{k-1}, v, u_{k+1}, \cdots, u_n) + f(u_1, \cdots, u_{k-1}, w, u_{k+1}, \cdots, u_n)
    • 任意の  u_1, \cdots, u_{k-1}, v,  u_{k+1}, \cdots, u_n, v \in V、任意の  a \in K に対して  f(u_1, \cdots, u_{k-1}, a v, u_{k+1}, \cdots, u_n)  = a f(u_1, \cdots, u_{k-1}, v, u_{k+1}, \cdots, u_n)
  • (交代性)
    • 任意の  u_1, \cdots, u_{k-1}, u_{k+1}, \cdots, u_{l-1}, u_{l+1}, \cdots, u_n, v \in V k \ne l に対して  f(u_1, \cdots, u_{k-1}, v,  u_{k+1}, \cdots, u_{l-1}, v,  u_{l+1}, \cdots, u_n) = 0

を満たすものとします。

 \varphi: V \to V線型写像とします。

列に関する展開
 \begin{eqnarray*}
f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) 
 & = & f(a_{11} e_{1} + a_{21} e_{2} + \cdots + a_{n1} e_{n}, \varphi (e_{2}), \cdots, \varphi (e_{n})) \\
 & = & a_{11} f(e_{1}, \varphi'_1 (e_{2}), \cdots, \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & + & a_{21} f(e_{2}, \varphi'_2 (e_{2}), \cdots, \varphi'_2 (e_{n})) \\
 & + & \\
 & \vdots & \\
 & + & a_{n1} f(e_{n}, \varphi'_n (e_{2}), \cdots, \varphi'_n (e_{n})) \\
\end{eqnarray*}
が成り立ちます。これは任意の列に対して成り立ちます。この展開は行列式の列に関する展開と同じなので  n に関する帰納法により  f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) = (\det \varphi) f(e_{1}, \cdots, e_{n}) が成り立ちます。よってこの展開によって行列式を定義することができます。

また、行に関する展開
 \begin{eqnarray*}
f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) 
 & = & f(a_{11} e_{1} + \varphi'_1 (e_{1}), a_{12} e_{1} + \varphi'_1 (e_{2}), \cdots, a_{1n} e_{1} + \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & = & a_{11} f(e_{1}, \varphi'_1 (e_{2}), \cdots, \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & + & a_{12} f(\varphi'_1 (e_{1}), e_{1}, \cdots, \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & + & \\
 & \vdots & \\
 & + & a_{1n} f(\varphi'_1 (e_{1}), \varphi'_1 (e_{2}), \cdots, e_{1}) \\
\end{eqnarray*}
が成り立ちます。これは任意の行に対して成り立ちます。

 \varphi, \psi: V \to V線型写像とします。 v_1, \cdots, v_n \in V に対して  L(v_1, \cdots, v_n) \in \mathcal{L}(V, V) e_i v_i に写す線型写像とします。 f: V^n \to K f(v_1, \cdots, v_n) = \det (\psi \circ L(v_1, \cdots, v_n)) とおくと、 f は多重線型性、交代性を満たすので、 f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) = (\det \varphi) f(e_{1}, \cdots, e_{n}) が成り立ちます。
 f(e_{1}, \cdots, e_{n}) = \det (\psi \circ L(e_{1}, \cdots, e_{n})) = \det (\psi)
 f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) = \det (\psi \circ L(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n}))) = \det (\psi \circ \varphi)
より  \det (\psi \circ \varphi) =  (\det \psi) (\det \varphi) が成り立ちます。

 \displaystyle \psi = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j \displaystyle \varphi = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} b_{ij} g_i f_j とすると  f_j g_k = \delta_{jk} 1 より
 \begin{eqnarray*}
\psi \circ \varphi & = & (\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j) \circ (\sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} b_{kl} g_k f_l) \\
 & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} a_{ij} b_{kl} g_i f_j g_k f_l \\
 & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} \delta_{jk} a_{ij} b_{kl} g_i f_l \\
 & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} a_{ij} b_{jl} g_i f_l \\
 & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} \left(\sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jl}\right) g_i f_l \\
\end{eqnarray*}
となり
 \displaystyle \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\right) g_i f_j = \left( \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j \right) \left( \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j \right)
となります。

線型代数 (ちくま学芸文庫)

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  • 作者:毅, 森
  • 発売日: 2020/01/10
  • メディア: 文庫