エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

エレファントな関数論(2)

コーシー・リーマンの方程式

まずコーシー・リーマンの方程式について調べたほうが良いようなので調べてみます。ここでもWikipediaに従って定義します。複素数  z の関数

 f(z)=u(z)+i v(z)

が点  z_0 に対して以下の極限が存在するとき、点  z_0微分可能であると言います。この極限値微分係数と呼び  f' z_0 の関数と考えたものを  f導関数と呼びます。

 \displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h \to 0}} \frac {f(z_{0} + h) - f(z_{0})}{h} = f'(z_{0})

この極限は

  • 任意の  \varepsilon > 0 に対して  \delta > 0 が存在して  |h| < \delta ならば  \left| \cfrac {f(z_{0} + h) - f(z_{0})}{h} - f'(z_{0}) \right| < \varepsilon

と定義します。この定義より  h を実軸上または虚軸上に限定しても成り立ちます。よって2つの極限値
 \displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}} {\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}} = \left. \frac {\partial f}{\partial x} \right|_{z_{0}}
 \displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}} {\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}} = \frac {1}{i} \left. \frac {\partial f}{\partial y} \right|_{z_{0}}
は等しいので
 \displaystyle i \left. \frac {\partial f}{\partial x} \right|_{z_{0}} = \left. \frac {\partial f}{\partial y} \right|_{z_{0}}
が成り立ちます。

よって  z_0 の近傍で
 \displaystyle i \frac {\partial f}{\partial x} = \frac {\partial f}{\partial y}
が成り立ちます。
 \displaystyle \frac {\partial f}{\partial x} + i \frac {\partial f}{\partial y}
 = \left(\frac {\partial u}{\partial x} + i \frac {\partial v}{\partial x}\right) + i \left(\frac {\partial u}{\partial y} + i \frac {\partial v}{\partial y}\right) = 0
となるので上の等式が成り立つことは
 \displaystyle \frac {\partial u}{\partial x} = \frac {\partial v}{\partial y}
 \displaystyle \frac {\partial u}{\partial y} = - \frac {\partial v}{\partial x}
が成り立つこと同値となります。これらの等式をコーシー・リーマンの方程式またはコーシー・リーマンの関係式と呼びます。

複素数  z = x + iy \mathbb{R}^2 から  \mathbb{R}^2 への写像と考えて行列で
\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix}
と表します( x, y \in \mathbb{R})。 f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) z_0 = x_0 + i y_0微分可能 で微分係数 a + ib とすると
 \displaystyle \lim _{s^2+t^2 \to 0} \begin{pmatrix} s & -t \\ t & s \end{pmatrix}^{-1}
 \begin{pmatrix} u(x_0 + s, y_0 + t) - u(x_0, y_0) & -(v(x_0 + s, y_0 + t) - v(x_0, y_0)) \\ v(x_0 + s, y_0 + t) - v(x_0, y_0) & u(x_0 + s, y_0 + t) - u(x_0, y_0) \end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}
が成り立ちます( u, v : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R})。これは  t = 0 または  s = 0 としても成り立つので
 \begin{eqnarray*}
 & & \lim _{s \to 0} \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}^{-1}
 \begin{pmatrix} u(x_0 + s, y_0) - u(x_0, y_0) & -(v(x_0 + s, y_0) - v(x_0, y_0)) \\ v(x_0 + s, y_0) - v(x_0, y_0) & u(x_0 + s, y_0) - u(x_0, y_0) \end{pmatrix} \\
 & = & \lim _{s \to 0}
 \begin{pmatrix} \cfrac{u(x_0 + s, y_0) - u(x_0, y_0)}{s} & - \cfrac{v(x_0 + s, y_0) - v(x_0, y_0)}{s} \\ \cfrac{v(x_0 + s, y_0) - v(x_0, y_0)}{s} & \cfrac{u(x_0 + s, y_0) - u(x_0, y_0)}{s} \end{pmatrix} \\
 & = & \begin{pmatrix}
 \left. \cfrac{\partial u}{\partial x} \right|_{z_0} & - \left. \cfrac{\partial v}{\partial x} \right|_{z_0} \\
 \left. \cfrac{\partial v}{\partial x} \right|_{z_0} & \left.  \cfrac{\partial u}{\partial x} \right|_{z_0}
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
 \begin{eqnarray*}
 & & \lim _{t \to 0} \begin{pmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{pmatrix}^{-1}
 \begin{pmatrix} u(x_0, y_0 + t) - u(x_0, y_0) & -(v(x_0, y_0 + t) - v(x_0, y_0)) \\ v(x_0, y_0 + t) - v(x_0, y_0) & u(x_0, y_0 + t) - u(x_0, y_0) \end{pmatrix} \\
 & = & \lim _{t \to 0}
 \begin{pmatrix}
 \cfrac{v(x_0, y_0 + t) - v(x_0, y_0)}{t} & \cfrac{u(x_0, y_0 + t) - u(x_0, y_0)}{t} \\
 - \cfrac{u(x_0, y_0 + t) - u(x_0, y_0)}{t} & \cfrac{v(x_0, y_0 + t) - v(x_0, y_0)}{t} \\
 \end{pmatrix} \\
 & = & \begin{pmatrix}
 \left. \cfrac{\partial v}{\partial y} \right|_{z_0} & \left. \cfrac{\partial u}{\partial y} \right|_{z_0} \\
 - \left. \cfrac{\partial u}{\partial y} \right|_{z_0} & \left.  \cfrac{\partial v}{\partial y} \right|_{z_0}
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
が成り立ち
 
\begin{pmatrix}
 \left. \cfrac{\partial u}{\partial x} \right|_{z_0} & - \left. \cfrac{\partial v}{\partial x} \right|_{z_0} \\
 \left. \cfrac{\partial v}{\partial x} \right|_{z_0} & \left.  \cfrac{\partial u}{\partial x} \right|_{z_0}
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
 \left. \cfrac{\partial v}{\partial y} \right|_{z_0} & \left. \cfrac{\partial u}{\partial y} \right|_{z_0} \\
 - \left. \cfrac{\partial u}{\partial y} \right|_{z_0} & \left.  \cfrac{\partial v}{\partial y} \right|_{z_0}
\end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}
となって  z_0 の近傍でコーシー・リーマンの方程式が成り立ちます。

複素関数論の基礎

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複素関数概論 (数学基礎コース)

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