エレファント・ビジュアライザー調査記録

ビジュアルプログラミングで数式の変形を表すことを考えていくブロクです。

エレファントな関数論(6)

コーシーの積分定理の証明

f が \alpha = a + ib を中心とする円の内部で微分可能とします。

f が z で微分可能とすると、任意の \varepsilon > 0 に対して \delta > 0 が存在して
| \zeta - z | < \delta \implies \left| \cfrac{f(\zeta) - f(z)}{\zeta - z} - \gamma \right| < \varepsilon
が成り立ちます ( \gamma = f'(z) )。
\delta < \cfrac{\varepsilon}{2 | \gamma |}、 \delta < \cfrac{1}{2} とすると
| f(\zeta) - f(z) | < \delta ( | \gamma | + \varepsilon ) < \cfrac{1}{2}\varepsilon + \cfrac{1}{2}\varepsilon = \varepsilon
となるので f は z で連続となります。

\beta = \alpha + \xi + i \eta を通る長方形の積分路 C に対して
\begin{eqnarray*} \oint_C f(\zeta)d\zeta & = & \xi \int_{0}^{1} f(\alpha + \xi t)dt + i\eta \int_{0}^{1} f(\alpha + \xi + i \eta t)dt \\ & - & \xi \int_{0}^{1} f(\beta - \xi t)dt - i\eta \int_{0}^{1} f(\beta - \xi - i \eta t)dt \\ & = & \xi \int_{0}^{1} ( f(\alpha + \xi t) - f(\alpha) - \gamma (\alpha + \xi t - \alpha) ) dt \\ & + & i\eta \int_{0}^{1} ( f(\alpha + \xi + i \eta t) - f(\alpha) - \gamma (\alpha + \xi + i \eta t - \alpha) ) dt \\ & - & \xi \int_{0}^{1} ( f(\beta - \xi t) - f(\alpha) - \gamma (\beta - \xi t - \alpha) ) dt \\ & - & i\eta \int_{0}^{1} ( f(\beta - \xi - i \eta t) - f(\alpha) - \gamma (\beta - \xi - i \eta t - \alpha) ) dt \\ & + & \Gamma + \Delta \\ \end{eqnarray*}
となります。ここで
\begin{eqnarray*} \Gamma & = & \xi \int_{0}^{1} f(\alpha) dt + i\eta \int_{0}^{1} f(\alpha) dt - \xi \int_{0}^{1} f(\alpha) dt - i\eta \int_{0}^{1} f(\alpha) dt = 0 \\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \Delta & = & \xi \int_{0}^{1} \gamma (\alpha + \xi t - \alpha) dt + i\eta \int_{0}^{1} \gamma (\alpha + \xi + i \eta t - \alpha) dt \\ & - & \xi \int_{0}^{1} \gamma (\beta - \xi t - \alpha) dt - i\eta \int_{0}^{1} \gamma (\beta - \xi - i \eta t - \alpha) dt \\ & = & \gamma \left( \xi \int_{0}^{1} \xi t dt + i\eta \int_{0}^{1} (\xi + i \eta t) dt - \xi \int_{0}^{1} (\xi + i\eta - \xi t) dt - i\eta \int_{0}^{1} (i\eta - i \eta t) dt \right) \\ & = & \gamma \int_{0}^{1} (\xi^2 t + i \xi \eta - \eta^2 t - \xi^2 - i \xi \eta + \xi^2 t + \eta^2 - \eta^2 t) dt \\ & = & \gamma \int_{0}^{1} (2 (\xi^2 - \eta^2) t - (\xi^2 - \eta^2) ) dt \\ & = & \gamma (\xi^2 - \eta^2) \left( \int_{0}^{1} 2 t dt - \int_{0}^{1} dt \right) = \gamma (\xi^2 - \eta^2) (1 - 1) = 0 \\ \end{eqnarray*}
となります。

| f(\zeta) - f(\alpha) - \gamma (\zeta - \alpha) | < \delta \varepsilon より
\begin{eqnarray*} \left| \oint_C f(\zeta)d\zeta \right| & \le & |\xi| \int_{0}^{1} \delta \varepsilon dt + |\eta| \int_{0}^{1} \delta \varepsilon dt + |\xi| \int_{0}^{1} \delta \varepsilon dt + |\eta| \int_{0}^{1} \delta \varepsilon dt \\ & = & 2(|\xi| + |\eta|) \delta \varepsilon \end{eqnarray*}

よって \displaystyle \oint_C f(\zeta)d\zeta = 0 となります。

よって F(z) を
C_1:\zeta=\alpha + \xi t; 0 \le t \le 1
C_2:\zeta=\alpha + \xi + i \eta t; 0 \le t \le 1
とするとき
\begin{eqnarray*} F(z) & = & \int_{C_1} f(\zeta)d\zeta + \int_{C_2} f(\zeta)d\zeta \\ & = & \xi \int_{0}^{1} f(\alpha + \xi t)dt + i \eta \int_{0}^{1} f(\alpha + \xi + i \eta t)dt \\ \end{eqnarray*}
と定義することができます。

F(z+\xi+i\eta) - F(z) = \xi \int_{0}^{1} f(z + \xi t)dt + i\eta \int_{0}^{1} f(z + \xi + i \eta t)dt より
\begin{eqnarray*} & & \left| \cfrac{F(z+\xi+i\eta) - F(z)}{\xi+i\eta} - f(z) \right| \\ & = & \left| \cfrac{1}{\xi+i\eta} \int_{0}^{1} (\xi (f(z + \xi t) - f(z)) + i\eta (f(z + \xi + i \eta t) - f(z)))dt \right| \\ & \le & \left| \cfrac{1}{\xi+i\eta} \right| \int_{0}^{1} (|\xi| |f(z + \xi t) - f(z)| + |\eta| |f(z + \xi + i \eta t) - f(z)|) dt \\ & \le & \left| \cfrac{1}{\xi+i\eta} \right| \int_{0}^{1} (|\xi| \varepsilon + |\eta| \varepsilon) dt \\ & \le & \cfrac{|\xi|+|\eta|}{|\xi+i\eta|} \varepsilon \\ & \le & 2 \varepsilon \\ \end{eqnarray*}
となるので F(z) は z で微分可能で F'(z) = f(z) となります。

積分路 C: z = z(t) \ (c \le t \le d) が z(c) = z(d) = \alpha であるとします。 \varphi(t) = F(z(t)) とおきます。
\begin{eqnarray*} \oint_C f(z)dz & = & \int_d^c f(z(t))z'(t)dt = \int_c^d \varphi'(t)dt = \varphi(d) - \varphi(c) \\ & = & F(z(d)) - F(z(c)) = F(\alpha) - F(\alpha) = 0 \\ \end{eqnarray*}
となります。

これで z の近傍で F(z) が存在してこの式が成り立つということがわかりましたが、コーシーの積分定理が成り立つということはこれでは言えないようです。

複素関数概論 (数学基礎コース)

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