エレファントな整数論(7) - エレファント・コンピューティング調査報告

$\mathbb{N}$ を使って良いことにしたので、前回の議論は群を使って考えることができます。

群による整数の加法

集合 $G$ と $G$ の二項演算 $+$ が

$+$ は結合法則を満たす。すなわち
任意の $x, y, z \in G$ に対して $(x + y) + z = x + (y + z)$
$0 \in G$ が存在して、任意の $x \in G$ に対して $0 + x = x + 0 = 0$
任意の $x \in G$ に対して $-x \in G$ が存在して、 $(-x) + x = x + (-x) = 0$

が成り立つとき $G$ と $+$ の組を群と呼びます。

$x \in G$ 、 $n \in \mathbb{N}$ に対して $n \cdot x$ を

$0 \cdot x = 0$
$(n + 1) \cdot x = n \cdot x + x$

と定義します。

$\begin{eqnarray*} & & (n+1) \cdot x = x + n \cdot x \\ & \Leftarrow & n \cdot x + x = x + (n-1) \cdot x + x \\ & \Leftarrow & n \cdot x = x + (n-1) \cdot x \\ & \Leftarrow & (n-1) \cdot x = x + (n-2) \cdot x \\ & \Leftarrow & \cdots \Leftarrow (n-n+1) \cdot x = x + (n-n) \cdot x \Leftarrow x = x \end{eqnarray*}$

任意の $x \in G$ 、 $n \in \mathbb{N}$ に対して $(n+1) \cdot x = n \cdot x + x = x + n \cdot x$

$n \cdot x + (-x) = (-x) + x + n \cdot x + (-x) = (-x) + n \cdot x + x + (-x) = (-x) + n \cdot x$

任意の $x \in G$ 、 $n \in \mathbb{N}$ に対して $n \cdot x + (-x) = (-x) + n \cdot x$

$x \in G$ 、 $n \in \mathbb{N}$ に対して $(-n) \cdot x$ を

$0 \cdot x = 0$
$(-(n + 1)) \cdot x = (-n) \cdot x + (-x)$

と定義します。

$\begin{eqnarray*} & & (-(n+1)) \cdot x = (-x) + (-n) \cdot x \\ & \Leftarrow & ( (-n) \cdot x) + (-x) = (-x) + ( (-(n-1) ) \cdot x) + (-x) \\ & \Leftarrow & ( (-n) \cdot x) = (-x) + ( (-(n-1) ) \cdot x) \\ & \Leftarrow & ( (-(n-1) ) \cdot x) + (-x) = (-x) + ( (-(n-2) ) \cdot x) \\ & \Leftarrow & \cdots \Leftarrow ( (-(n-n+1) ) \cdot x) = (-x) + ( (-(n-n) ) \cdot x) \Leftarrow -x = -x \end{eqnarray*}$

任意の $x \in G$ 、 $n \in \mathbb{N}$ に対して $(-(n+1)) \cdot x = (-n) \cdot x + (-x) = (-x) + (-n) \cdot x$

$(-n) \cdot x + x = x + (-x) + (-n) \cdot x + x = x + (-n) \cdot x + (-x) + x = x + (-n) \cdot x$

任意の $x \in G$ 、 $n \in \mathbb{N}$ に対して $(-n) \cdot x + x = x + (-n) \cdot x$

$y = n \cdot x$ または $y = (-n) \cdot x$ のとき
$m \cdot x + y = (m - 1) \cdot x + x + y \\ = (m - 1) \cdot x + y + x = (m - 2) \cdot x + y + 2 \cdot x \\ = \cdots = (m - m) \cdot x + y + m \cdot x = y + m \cdot x$
$(-m) \cdot x + y = (-(m - 1)) \cdot x + (-x) + y \\ = (-(m - 1)) \cdot x + y + (-x) = (-(m - 2)) \cdot x + y + (-2) \cdot x \\ = \cdots = (-(m - m)) \cdot x + y + (-m) \cdot x = y + (-m) \cdot x$

(G5) 任意の、に対して
- $m \cdot x + n \cdot x = n \cdot x + m \cdot x$
- $m \cdot x + (-n) \cdot x = (-n) \cdot x + m \cdot x$
- $(-m) \cdot x + n \cdot x = n \cdot x + (-m) \cdot x$
- $(-m) \cdot x + (-n) \cdot x = (-n) \cdot x + (-m) \cdot x$

$n \cdot x + (-n) \cdot x = (n - 1) \cdot x + x + (-(n - 1)) \cdot x + (-x) \\ = (n - 1) \cdot x + (-(n - 1)) \cdot x = (n - 2) \cdot x + (-(n - 2)) \cdot x \\ = \cdots = (n - n) \cdot x + (-(n - n)) \cdot x = 0$

(G4) 任意の $x \in G$ 、 $n \in \mathbb{N}$ に対して
$n \cdot x + (-n) \cdot x = (-n) \cdot x + n \cdot x = 0$

$(m + n) \cdot x = (m + n - 1) \cdot x + x = (m + n - 2) \cdot x + 2 \cdot x \\ = \cdots = = (m + n - n) \cdot x + n \cdot x = m \cdot x + n \cdot x$
$(-(m + n)) \cdot x = (-(m + n - 1)) \cdot x + (-x) = (-(m + n - 2)) \cdot x + (-2) \cdot x \\ = \cdots = = (-(m + n - n)) \cdot x + (-n) \cdot x = (-m) \cdot x + (-n) \cdot x$

(G1) 任意の、に対して
- $(m + n) \cdot x = m \cdot x + n \cdot x$
- $-(m + n) \cdot x = (-m) \cdot x + (-n) \cdot x$

$m \ge n$ のとき $m = n + d$ となる $d \in \mathbb{N}$ が存在します。 $d = m \setminus n$ と書くと

(G2) 任意の、に対して
- $m \cdot x + (-n) \cdot x = n \cdot x + (m \setminus n) \cdot x + (-n) \cdot x = (m \setminus n) \cdot x$
(G3) 任意の、に対して
- $(-m) \cdot x + n \cdot x = (-n) \cdot x + (-(m \setminus n)) \cdot x + n \cdot x = (-(m \setminus n)) \cdot x$

となります。

$H = \{ n \cdot x \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ (-n) \cdot x \mid n \in \mathbb{N} \}$ とおくと(G1)、(G2)、(G3)より $H$ は $+$ に関して閉じています。(G4)より $H$ は逆元をとることに関して閉じているので、 $H$ は $G$ の部分群となります。(G5)より $H$ はアーベル群となります。 $H$ が無限集合のとき $H$ は整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ と考えることができます。

群による整数の乗法

$G$ をアーベル群とします。 $E = \mathrm{End}(G)$ を $f: G \to G$ で任意の $x, y \in G$ に対して $f(x+y) = f(x)+f(y)$ を満たす写像(自己準同型)全体の集合とします。

$f, g \in E$ に対して $f+g$ を $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ と定義すると、 $G$ の演算が可換であることから
$(f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = (f(x)+f(y)) + (g(x)+g(y)) \\ = (f(x)+g(x)) + (f(y)+g(y)) = (f+g)(x) + (f+g)(y)$
となって $f+g \in E$ となります。よって $E$ は $+$ に関してアーベル群となります。 $fg \in E$ を $(fg)(x) = f(g(x))$ (写像の合成)と定義すると、 $E$ は写像の合成に関してモノイドとなります。 $f, g, h \in E$ に対して $f$ は自己準同型であるから $f(g+h) = fg + fh$ が成り立ちます。 $+$ の定義から $(f+g)h = fh + gh$ が成り立ちます。 $+$ を加法、写像の合成を乗法とすると乗法の加法に対する分配法則が成り立ちます。 $E$ はこの加法と乗法に関して環となります。

$x \in G$ 、 $n \in \mathbb{Z}$ 、 $n \ge 0$ に対して $n \cdot x$ を

$0 \cdot x = 0$
$(n + 1) \cdot x = n \cdot x + x$

と定義します。

$n \cdot (x+y) \\ = (n-1) \cdot (x+y) + (x+y) = (n-2) \cdot (x+y) + (x+y) + (x+y) \\ = (n-2) \cdot (x+y) + (2 \cdot x + 2 \cdot y) = \cdots = (n-n) \cdot (x+y) + (n \cdot x + n \cdot y) \\ = n \cdot x + n \cdot y$
となります。

$x \in G$ 、 $n \in \mathbb{Z}$ 、 $n \le 0$ に対して $n \cdot x$ を

$0 \cdot x = 0$
$(n - 1) \cdot x = n \cdot x - x$

と定義します。

$n \cdot (x+y) = (n+1) \cdot (x+y) + (-(x+y)) \\ = (n+1) \cdot (x+y) + ( (-x)+(-y) ) = (n+2) \cdot (x+y) + ( (-x)+(-y) ) + ( (-x)+(-y) ) \\ = (n+2) \cdot (x+y) + ( (-2) \cdot x + (-2) \cdot y) = \cdots = (n+(-n)) \cdot (x+y) + (n \cdot x + n \cdot y) \\ = n \cdot x + n \cdot y$
となります。

よって

任意の $x, y \in G$ 、 $n \in \mathbb{Z}$ に対して $n \cdot (x+y) = n \cdot x + n \cdot y$

となります。

よって $\varphi: \mathbb{Z} \to E$ を $\varphi(n) \in E$ が $x \mapsto n \cdot x$ となる写像として定義することができます。

任意の $m, n \in \mathbb{Z}$ に対して $\varphi(m+n) = \varphi(m) + \varphi(n)$
$\varphi(0) = 0$ ( $0$ は $x \mapsto 0$ という写像)

となるので $\varphi$ は群の準同型となります。

任意の $m, n \in \mathbb{Z}$ 、 $m \ge 0$ に対して

$\varphi(0) \varphi(n) = 0$
$\varphi(m + 1) \varphi(n) = \varphi(m)\varphi(n) + \varphi(n)$

任意の $m, n \in \mathbb{Z}$ 、 $m \le 0$ に対して

$\varphi(0) \varphi(n) = 0$
$\varphi(m - 1) \varphi(n) = \varphi(m)\varphi(n) - \varphi(n)$

となります。よって

任意の $m, n \in \mathbb{Z}$ に対して $p \in \mathbb{Z}$ が存在して $\varphi(m) \varphi(n) = \varphi(p)$

となって $\varphi(\mathbb{Z})$ は乗法に関して閉じているので $\varphi(\mathbb{Z})$ は $E$ の部分環となります。

任意の $m, n \in \mathbb{Z}$ 、 $m \ge 0$ に対して
$\varphi(m) \varphi(n) - \varphi(n)\varphi(m) = (\varphi(m) - \varphi(1)) \varphi(n) + \varphi(n) - \varphi(n)\varphi(m) \\ = (\varphi(m) - \varphi(1)) \varphi(n) - \varphi(n) (\varphi(1) - \varphi(m)) \\ = \cdots = (\varphi(m) - \varphi(m)) \varphi(n) - \varphi(n) (\varphi(m) - \varphi(m)) = 0$
任意の $m, n \in \mathbb{Z}$ 、 $m \le 0$ に対して
$\varphi(m) \varphi(n) - \varphi(n)\varphi(m) = (\varphi(m) + \varphi(1)) \varphi(n) - \varphi(n) - \varphi(n)\varphi(m) \\ = (\varphi(m) + \varphi(1)) \varphi(n) - \varphi(n) (\varphi(1) + \varphi(m)) \\ = \cdots = (\varphi(m) + \varphi(-m)) \varphi(n) - \varphi(n) (\varphi(-m) + \varphi(m)) = 0$
となるので