剰余類
に対して
と定義します。
に対して
と定義します。 に演算 を に対して
と定義すると、 はアーベル群になります。この元を剰余類と呼びます。
とし を とします。 は群の準同型となります。 に対して とおきます。
のとき とすると となる が存在します。 となり、 の最小性から となります。 から となり となって に矛盾します。
のとき とすると となる が存在します。 となり、 の最小性から となります。 から となり となって に矛盾します。
よって
- のとき
- のとき
となります。 を を で割った余りと呼びます。
環と半環
集合 に加法と乗法という2つの二項演算が存在して
ならば は半環であるといいます。
といいます。
は単位元をもつ自明ではない可換半環、 は単位元をもつ自明ではない可換環となります。
単位元をもつ自明ではない可換半環 の部分集合全体の集合を とします。 に対して
と定義します。これらの演算によって は単位元をもつ自明ではない可換半環となります。
- のとき を
- のとき を
と書きます。
が
であるとき のイデアルと呼びます。
が のイデアルのとき を とすると
となるので、 は単位元をもつ可換半環、 は半環の準同型となります。
が環のとき は単位元をもつ可換環、 は環の準同型となります。
のとき とします。 が のイデアルのとき とすると、 のイデアル全体の集合 は加法 と乗法 に関して単位元をもつ自明ではない可換半環となります。
最大公約数
に対して の元を の倍数と呼びます。 に対して を の約数と呼びます。
- は の倍数 は の約数
に対して
- が の約数かつ が の約数
であるとき を と の公約数と呼びます。
- は と の公約数
となります。
なので は と の公約数となります。
を と の最大公約数と呼びます。
とおきます。 とすると 、 となる が存在します。 を という写像とし、 とすると、上の議論より 、 となって の最小性に矛盾となります。よって となります。
となって は と の最大公約数となります。