エレファントな整数論(13) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

整域 $R$ の素元全体の集合を $X$ 、既約元全体の集合を $Y$ とします。 $X$ によって( $R$ の乗法によって)生成されたモノイドを $P$ とおきます。 $R$ のイデアル全体の集合を $I(R)$ とおきます。 $\psi: R \to I(R)$ を $\psi(a) = Ra$ とします。 $\{0\}$ を $0$ と書きます。 $S \subseteq R$ に対して $\psi(S)$ を $\langle S \rangle$ と書きます。

$\langle R \rangle = \langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle$ のとき $R$ を一意分解整域と呼びます。

$I(R) = \langle R \rangle$ のとき $R$ を単項イデアル整域と呼びます。

$X \subseteq Y$

[証明]
$\begin{eqnarray*} p \in X & \iff & \bigl[ \ (a)(b) \subseteq (p) \implies (a) \subseteq (p) \lor (b) \subseteq (p) \ \bigr] \\ & \implies & \bigl[ \ ab = p \implies a \in (ab) \lor b \in (ab) \ \bigr] \\ & \iff & \bigl[ \ ab = p \implies (b) = (1) \lor (a) = (1) \ \bigr] \\ & \iff & p \in Y \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

$\langle R \rangle = \langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle \implies \langle X \rangle = \langle Y \rangle$

[証明] $(p) \in \langle Y \rangle$ とすると $(p) \in \langle R \rangle = \langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle$ であり $(p) \ne 0$ なので $(p) \in \langle P \rangle$ となります。よって $(p) = (q_1) \cdots (q_n)$ となる $(q_i) \in \langle X \rangle$ が存在します。 $(p) \in \langle Y \rangle$ よりある $(q_i)$ 以外は $(1)$ となります。よって $(p) = (q_i) \in \langle X \rangle$ となって $\langle Y \rangle \subseteq \langle X \rangle$ となります。

$X \subseteq Y$ より $\langle X \rangle \subseteq \langle Y \rangle$ となるので $\langle X \rangle = \langle Y \rangle$ となります。[証明終わり]

$I(R) = \langle R \rangle \implies \langle R \rangle = \langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle$

[証明] $I = \bigcup (\langle R \rangle \setminus \langle P \rangle) = \bigcup \{ (x) \mid (x) \in \langle R \rangle \setminus \langle P \rangle \}$ とおくと( $\bigcup$ は $R$ の部分集合の和集合を表す) $I \in I(R) = \langle R \rangle$ となります。

$I = (a) \in \langle R \rangle$ となる $(a) \in \langle R \rangle$ が存在します。 $a \in (x)$ となる $(x) \in \langle R \rangle \setminus \langle P \rangle$ が存在します。

$(a) \ne 0$ ならば $(a) = (b)(c)$ 、 $(b) \ne (1)$ 、 $(c) \ne (1)$ となる $(b), (c) \in \langle R \rangle$ が存在します。 $(b) \notin \langle P \rangle$ とすると、 $(b) \subseteq (a)$ となります。 $(a) = (b)(c) \subseteq (b)$ より $(a) = (b)$ となります。 $(a) = (b)(c)$ より $(c) = (1)$ となり $(c) \ne (1)$ に矛盾。よって $(b) \in \langle P \rangle$ となります。同様に $(c) \in \langle P \rangle$ となります。 $(a) = (b)(c) \in \langle P \rangle$ となって $(a) \notin \langle P \rangle$ に矛盾。よって $(a) = 0$ となります。

よって $\langle R \rangle = \langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle$ となります。[証明終わり]