エレファントな整数論(19) - エレファント・コンピューティング調査報告

最後の式の書き方を少し変更します。

(8) $\mathcal{P}, \mathcal{Q}$ を0個以上の有限個の正の素数からなる多重集合とするとき、 $\prod \mathcal{P} = \prod \mathcal{Q}$ ならば $\mathcal{P} = \mathcal{Q}$ となります。

[証明] $\{| p |\} \le \mathcal{P}$ となる $p$ が存在しないとすると $\prod \mathcal{P} = 1$ となります。 $\prod \mathcal{P} = \prod \mathcal{Q}$ ならば $\prod \mathcal{Q} = 1$ となって $\# \mathcal{Q} = 0$ となるので $\mathcal{P} = \mathcal{Q}$ となります。

$\{| p |\} \le \mathcal{P}$ となる $p$ が存在するならば、(7) より $\{| p |\} \le \mathcal{Q}$ となります。 $\mathcal{P}' = \mathcal{P} - \{| p |\}$ 、 $\mathcal{Q}' = \mathcal{Q} - \{| p |\}$ とおくと $\prod \mathcal{P} = \prod \mathcal{Q}$ より $\prod \mathcal{P}' = \prod \mathcal{Q}'$ となります。このとき $\mathcal{P}' = \mathcal{Q}'$ と仮定すると、 $\mathcal{P} = \mathcal{P}' + \{| p |\} = \mathcal{Q}' + \{| p |\} = \mathcal{Q}$ となります。

よって $\mathcal{P} = \{| p_1, p_2, \cdots , p_m |\}$ とすると
$\begin{eqnarray*} & & \left[ \ \prod \mathcal{P} = \prod \mathcal{Q} \implies \mathcal{P} = \mathcal{Q} \ \right] \\ & \Longleftarrow & \mathcal{P} \ne_\exists \mathcal{P}_1 + \{| p_1 |\} \lor \left[ \ \mathcal{P} =_\exists \mathcal{P}_1 + \{| p_1 |\} \land \prod \mathcal{P}_1 = \prod \mathcal{Q}_1 \implies \mathcal{P} = \mathcal{Q} \ \right] \\ & \Longleftarrow & \mathcal{P} \ne_\exists \mathcal{P}_1 + \{| p_1 |\} \lor \ \\ & & \mathcal{P}_1 \ne_\exists \mathcal{P}_2 + \{| p_2 |\} \lor \left[ \ \mathcal{P}_1 =_\exists \mathcal{P}_2 + \{| p_2 |\} \land \prod \mathcal{P}_2 = \prod \mathcal{Q}_2 \implies \mathcal{P}_1 = \mathcal{Q}_1 \ \right] \\ & \Longleftarrow & \mathcal{P} \ne_\exists \mathcal{P}_1 + \{| p_1 |\} \lor \mathcal{P}_1 \ne_\exists \mathcal{P}_2 + \{| p_2 |\} \lor \ \\ & & \mathcal{P}_2 \ne_\exists \mathcal{P}_3 + \{| p_3 |\} \lor \left[ \ \mathcal{P}_2 =_\exists \mathcal{P}_3 + \{| p_3 |\} \land \prod \mathcal{P}_3 = \prod \mathcal{Q}_3 \implies \mathcal{P}_2 = \mathcal{Q}_2 \ \right] \\ & \Longleftarrow & \\ & \vdots & \\ & \Longleftarrow & \mathcal{P} \ne_\exists \mathcal{P}_1 + \{| p_1 |\} \lor \cdots \lor \mathcal{P}_m \ne_\exists \mathcal{P}_{m+1} + \{| p_{m+1} |\} \end{eqnarray*}$
となります。ここで $\mathcal{X} \ne_\exists \mathcal{Y} + \{| x |\}$ は $\mathcal{X} = \mathcal{Y} + \{| x |\}$ となる $\mathcal{Y}$ と $x$ が存在しないこと、 $\mathcal{X} =_\exists \mathcal{Y} + \{| x |\}$ は $\mathcal{X} = \mathcal{Y} + \{| x |\}$ となる $\mathcal{Y}$ と $x$ が存在することを表すとします。最後の項は $\{| p |\} \le \mathcal{P}_m$ となる $p$ が存在しない場合( $\# \mathcal{P}_m = 0$ の場合)なので成り立ちます。よって $\prod \mathcal{P} = \prod \mathcal{Q}$ ならば $\mathcal{P} = \mathcal{Q}$ となります。[証明終わり]