最後の式の書き方を少し変更します。
(8) を0個以上の有限個の正の素数からなる多重集合とするとき、 ならば となります。
[証明] となる が存在しないとすると となります。 ならば となって となるので となります。
となる が存在するならば、(7) より となります。、 とおくと より となります。このとき と仮定すると、 となります。
よって とすると
となります。ここで は となる と が存在しないこと、 は となる と が存在することを表すとします。最後の項は となる が存在しない場合( の場合)なので成り立ちます。よって ならば となります。[証明終わり]