エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

代数的構造による圏論(1)

このブログでは普通の圏論の本に載っているような図式を書くことができないらしいので、「斜めの線を使わない圏論」では、自由生成モノイド、自由生成可換モノイド、自由生成半環などを構成するような方法で、極限、随伴などを説明することができないか検討していました。圏論の本に載っているような説明は私にはわかりにくいので、別の説明の方法があるかどうか考えていましたが、特に進展はありませんでした。

圏論の道案内」という本では可換モノイド、半環が取り上げられているので、この本を読みながら検討していきます。出版社のサイトにある目次を引用しておきます。
gihyo.jp

第1章 道案内の前に

第2章 圏

  • ①圏の定義1:対象と射,域と余域
  • ②圏の定義2:合成
  • ③圏の定義3:結合律
  • ④圏の定義4:恒等射
  • ⑤圏の定義:完全版
  • ⑥圏の例1:前順序,半順序,全順序
  • ⑦圏の例2:モノイドと群
  • ⑧圏の例3:集合圏
  • ⑨圏の例4:モノイドの圏

第3章 関手

  • ①関手の定義
  • ②関手の例1:順序を保つ写像,反変関手・双対圏
  • ③関手の例2:hom 関手
  • ④関手の例3:モノイド準同型(1)
  • ⑤関手の例4:モノイド準同型(2)
  • ⑥関手の例5:モノイド準同型(3)
  • ⑦関手の例6:線型表現(1)
  • ⑧関手の例7:線型表現(2)
  • 発展 ⑨関手の例8:ホモロジー,ブラウワーの不動点定理

第4章 自然変換

  • ①自然変換の定義1
  • ②自然変換の定義2
  • ③自然変換の例1:前順序集合に関する例
  • ④自然変換の例2:hom 関手間の自然変換
  • ⑤自然変換の例3:米田の補題
  • ⑥自然変換の例4:単位系の変換
  • 発展 ⑦自然変換の例5:絡作用素,ユニタリ同値,フーリエ変換
  • 第3章・第4章のまとめ

第5章 普遍性

  • ①終対象と始対象
  • ②積と余積
  • ③積関手
  • 線型代数の土壌
  • ⑤極限と余極限の例
  • ⑥射圏,そして一般射圏
  • ⑦極限,余極限の定義

第6章 冪:プログラムの本質

  • ①冪
  • ②CCC

第7章 圏論集合論

第8章 随伴

  • ①積と冪との間の関係
  • ②随伴

第9章 モナド