代数的構造による圏論(11) - エレファント・コンピューティング調査報告

随伴(2) 積関手と冪関手

自由マグマと自由モノイドの関係を使って、随伴(の一部)を説明することができると思ったのですが、まだできていないし、随伴の全体を説明することは難しいと思われるので、また「圏論の道案内～矢印でえがく数学の世界～」の「第8章随伴 ①積と冪との間の関係」に従って説明していくことにします。

これ以降この本では可換モノイド、半環、行列などの話題が現れないようですが、これらについても調査していく予定です。

積関手

積を持つ圏 $\mathcal{C}$ の対象 $A$ に対して

任意の対象 $X$ に対して対象 $A \times X$
任意の射 $X \xrightarrow{f} Y$ に対して射 $A \times X \xrightarrow{1_A \times f} A \times Y$

を対応させるものは関手となります。この関手を $\mathcal{C}$ から $\mathcal{C}$ への積関手 $A \times ()$ と呼びます。

冪関手

積および冪を持つ圏 $\mathcal{C}$ において、対象 $X$ に対して評価射 $A \times X^A \xrightarrow{\varepsilon_X} X$ は、任意の射 $A \times Y \xrightarrow{h} X$ に対して射 $Y \xrightarrow{\tilde{h}} X^A$ で(可換図式1) $\require{AMScd}$ \begin{CD}
A \times Y @> h >> X \\
@V 1_A \times \tilde{h} VV @VV 1_X V \\
A \times X^A @>> \varepsilon_X > X
\end{CD} を可換にするものが一意的に存在するものとなります。 $\tilde{h}$ を $h$ のカリー化または転置と呼び、ここでは $\mathrm{curry}(h)$ と書きます。

射 $X \xrightarrow{f} Y$ に対して、冪の普遍性(可換図式1)より $X^A \xrightarrow{u} Y^A$ で(可換図式2) \begin{CD}
A \times X^A @> \varepsilon_X >> X \\
@V 1_A \times u VV @VV f V \\
A \times Y^A @>> \varepsilon_Y > Y
\end{CD} を可換にするものが一意的に存在します。

この $u$ を $f^A$ と書くと、冪を持つ圏 $\mathcal{C}$ の対象 $A$ に対して

任意の対象 $X$ に対して対象 $X^A$
任意の射 $X \xrightarrow{f} Y$ に対して射 $X^A \xrightarrow{f^A} Y^A$

を対応させるものは関手となります。この関手を $\mathcal{C}$ から $\mathcal{C}$ への関手(冪関手) $()^A$ と呼びます。

積関手と冪関手の関係 ( $\varepsilon$ )

積関手を $F_A$ 、冪関手を $G_A$ とすると、(可換図式2)は(可換図式3) \begin{CD}
F_A G_A (X) @> \varepsilon_X >> X \\
@V F_A G_A (f) VV @VV f V \\
F_A G_A (Y) @>> \varepsilon_Y > Y \\
\end{CD} となって、自然変換 $F_A G_A \overset{\varepsilon}{\Longrightarrow} \mathrm{id}_\mathcal{C}$ を表すものとなります。

積関手と冪関手の関係 ( $\eta$ )

対象 $A$ と $X$ に対して冪の普遍性(可換図式1)より(可換図式4) \begin{CD}
A \times X @> 1_A \times 1_X >> A \times X \\
@V 1_A \times η_X VV @VV 1_A \times 1_X V \\
A \times (A \times X)^A @>> \varepsilon_{A \times X} > A \times X
\end{CD} を可換にする $X \xrightarrow{η_X} (A \times X)^A$ が一意的に存在します( $η_X = \mathrm{curry}(1_A \times 1_X)$ )。

$A \times X \xrightarrow{1_A \times f} A \times Y$ のカリー化 $X \xrightarrow{g} (A \times Y)^A$ ( $g = \mathrm{curry}(1_A \times f)$ )が一意的に存在して(可換図式5) \begin{CD}
A \times X @> 1_A \times f >> A \times Y \\
@V 1_A \times g VV @VV 1_A \times 1_Y V \\
A \times (A \times Y)^A @>> \varepsilon_{A \times Y} > A \times Y
\end{CD} を可換にします。

以下の図式が可換図式となることを見ていきます。(図式6) \begin{CD}
X @> η_X >> (A \times X)^A \\
@V f VV @VV (1_A \times f)^A V \\
Y @>> η_Y > (A \times Y)^A \\
\end{CD}

(可換図式4)より以下の図式(可換図式7) \begin{CD}
A \times X @> 1_A \times f >> A \times Y \\
@V 1_A \times f VV @VV 1_A \times 1_Y V \\
A \times Y @> 1_A \times 1_Y >> A \times Y \\
@V 1_A \times η_Y VV @VV 1_A \times 1_Y V \\
A \times (A \times Y)^A @>> \varepsilon_{A \times Y} > A \times Y
\end{CD} は可換図式となります。(可換図式5)より $\eta_Y \circ f = \mathrm{curry}(1_A \times f)$ となります。

(可換図式4)、(可換図式2)より(可換図式8) \begin{CD}
A \times X @> 1_A \times 1_X >> A \times X \\
@V 1_A \times η_X VV @VV 1_A \times 1_X V \\
A \times (A \times X)^A @> \varepsilon_{A \times X} >> A \times X \\
@V 1_A \times (1_A \times f)^A VV @VV 1_A \times f V \\
A \times (A \times Y)^A @>> \varepsilon_{A \times Y} > A \times Y
\end{CD} は可換図式となります。(可換図式5)のより $(1_A \times f)^A \circ η_X = \mathrm{curry}(1_A \times f)$ となります。

よって(図式6)は可換図式となり(可換図式9) \begin{CD}
X @> η_X >> G_A F_A(X) \\
@V f VV @VV G_A F_A(f) V \\
Y @>> η_Y > G_A F_A(Y) \\
\end{CD} は可換図式となり、自然変換 $\mathrm{id}_\mathcal{C} \overset{\eta}{\Longrightarrow} G_A F_A$ を表す可換図式となります。

三角等式

三角等式 ( $F_AG_AF_A$ )

(可換図式4)を $F_A$ 、 $G_A$ を使って描くと(可換図式10) \begin{CD}
F_A(X) @> 1_{F_A(X)} >> F_A(X) \\
@V F_A(η_X) VV @VV 1_{F_A(X)} V \\
F_AG_AF_A(X) @>> \varepsilon_{F_A(X)} > F_A(X)
\end{CD} となります。

三角等式 ( $G_AF_AG_A$ )

(可換図式10)で $X$ を $G_A(X)$ にすると(可換図式11) \begin{CD}
F_AG_A(X) @> 1_{F_AG_A(X)} >> F_AG_A(X) \\
@V F_A(η_{G_A(X)}) VV @VV 1_{F_AG_A(X)} V \\
F_AG_AF_AG_A(X) @>> \varepsilon_{F_AG_A(X)} > F_AG_A(X)
\end{CD} は可換図式となります。

(可換図式3)で $X \xrightarrow{f} Y$ を $F_A G_A (X) \xrightarrow{\varepsilon_X} X$ とすると(可換図式12) \begin{CD}
F_A G_A F_A G_A (X) @> \varepsilon_{F_A G_A (X)} >> F_A G_A (X) \\
@V F_A G_A (\varepsilon_X) VV @VV \varepsilon_X V \\
F_A G_A (X) @>> \varepsilon_X > X \\
\end{CD} は可換図式となります。

(可換図式11)と(可換図式12)より(可換図式13) \begin{CD}
F_AG_A(X) @> 1_{F_AG_A(X)} >> F_AG_A(X) \\
@V F_A(η_{G_A(X)}) VV @VV 1_{F_AG_A(X)} V \\
F_A G_A F_A G_A (X) @> \varepsilon_{F_A G_A (X)} >> F_A G_A (X) \\
@V F_A G_A (\varepsilon_X) VV @VV \varepsilon_X V \\
F_A G_A (X) @>> \varepsilon_X > X \\
\end{CD} は可換図式となって、 $G_A (\varepsilon_X) \circ η_{G_A(X)} = \mathrm{curry}(\varepsilon_X)$ となります。

(可換図式3)の $X \xrightarrow{f} Y$ を $X \xrightarrow{1_{X}} X$ とすると(可換図式14)
\begin{CD}
F_A G_A (X) @> \varepsilon_X >> X \\
@V F_A(1_{G_A (X)}) VV @VV 1_X V \\
F_A G_A (X) @>> \varepsilon_X > X \\
\end{CD} は可換図式となって、 $1_{G_A(X)} = \mathrm{curry}(\varepsilon_X)$ となります。

よって(可換図式15) \begin{CD}
G_A (X) @> η_{G_A(X)} >> G_A F_A G_A(X) \\
@V 1_{G_A (X)} VV @VV G_A (\varepsilon_X) V \\
G_A (X) @>> 1_{G_A (X)} > G(X) \\
\end{CD} は可換図式となります。

三角等式 (自然変換 $\varepsilon, \eta$ )

関手 $H$ と自然変換 $t$ を合成した自然変換 $Ht$ 、 $tH$ を $X$ 成分が

$(Ht)_X = H(t_X)$
$(tH)_X = t_{H(X)}$

であるものと定義します。\begin{CD}
F_A @> 1_{F_A} >> F_A \\
@V F_Aη VV @| \\
F_AG_AF_A @>> εF_A > F_A
\end{CD} \begin{CD}
G_A @> ηG_A >> G_AF_AG_A \\
@| @VV G_Aε V \\
G_A @>> 1_{G_A} > G_A
\end{CD} は自然変換の可換図式となります。