代数的構造による圏論(12) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

随伴(3) 随伴の三角等式による定義

随伴の定義についても本に従って見ていきます。

随伴の三角等式による定義

定義 8.1 圏 $\mathcal{C}$ 、 $\mathcal{D}$ 間の関手 $\mathcal{C} \xrightarrow{F} \mathcal{D}$ 、 $\mathcal{C} \xleftarrow{G} \mathcal{D}$ について、自然変換 $FG \overset{\varepsilon}{\Longrightarrow} \mathrm{id}_\mathcal{D}$ 、 $\mathrm{id}_\mathcal{C} \overset{\eta}{\Longrightarrow} GF$ が存在してこれらが三角等式を満たすとき、すなわち $\require{AMScd}$ \begin{CD}
F @> 1_F >> F \\
@V Fη VV @| \\
FGF @>> εF > F
\end{CD} \begin{CD}
G @> ηG >> GFG \\
@| @VV Gε V \\
G @>> 1_G > G
\end{CD} を可換にするとき、四つ組 $\langle F, G, \varepsilon, \eta \rangle$ を随伴関係と呼びます。

定義(圏の積) 圏 $\mathcal{C}$ 、 $\mathcal{D}$ の積 $\mathcal{C} \times \mathcal{D}$ とは、

$\mathcal{C} \times \mathcal{D}$ の対象は、 $\mathcal{C}$ の対象 $X$ 、 $\mathcal{D}$ の対象 $Y$ の組 $\langle X, Y \rangle$ 、
$\mathcal{C} \times \mathcal{D}$ の射は、 $\mathcal{C}$ の射 $X \xrightarrow{f} X'$ 、 $\mathcal{D}$ の射 $Y \xrightarrow{g} Y'$ の組 $\langle X, Y \rangle \xrightarrow{\langle f, g \rangle} \langle X', Y' \rangle$

であるものと定義します(これは圏となります)。

定義関手 $\mathcal{C}^\mathrm{op} \times \mathcal{C} \xrightarrow{\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-, -)} \mathbf{Set}$ を

$\mathcal{C}^\mathrm{op} \times \mathcal{D}$ の対象 $\langle X, Y \rangle$ に $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X, Y)$ を対応させる
の射に対応するの射をとすると、の射をとの射の組であるの射に対応するの射を、
- $A \xrightarrow{x} B$ を $A' \xrightarrow{a} A \xrightarrow{x} B \xrightarrow{b} B'$ に対応させるもの

と定義します(これは関手となります)。

定義関手 $\mathcal{C} \xrightarrow{F} \mathcal{D}$ に対応する関手 $\mathcal{C}^\mathrm{op} \xrightarrow{F^\mathrm{op}} \mathcal{D}^\mathrm{op}$ を $F^\mathrm{op}$ として

$\mathcal{C}^\mathrm{op} \times \mathcal{D} \xrightarrow{F^\mathrm{op} \times \mathrm{id}_\mathcal{D}} \mathcal{D}^\mathrm{op} \times \mathcal{D} \xrightarrow{\mathrm{Hom}_\mathcal{D}(-, -)} \mathrm{Set}$ を $\mathrm{Hom}_\mathcal{D}(F(-), -)$
$\mathcal{C}^\mathrm{op} \times \mathcal{D} \xrightarrow{\mathrm{id}_{\mathcal{C}^\mathrm{op}} \times G} \mathcal{C}^\mathrm{op} \times \mathcal{C} \xrightarrow{\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-, -)} \mathrm{Set}$ を $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-, G(-))$

と書きます。

定理 8.2 圏 $\mathcal{C}$ 、 $\mathcal{D}$ 間の関手 $\mathcal{C} \xrightarrow{F} \mathcal{D}$ 、 $\mathcal{C} \xleftarrow{G} \mathcal{D}$ の定める随伴関係 $\langle F, G, \varepsilon, \eta \rangle$ から自然同値 $\mathrm{Hom}_\mathcal{D}(F(-), -) \implies \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-, G(-))$ を構成することができます。

[証明]

$F(X) \xrightarrow{f} Y$ から $X \xrightarrow{\eta_X} GF(X) \xrightarrow{G(f)} G(Y)$ への対応を $\Phi_{\langle X, Y \rangle}$
$X \xrightarrow{g} G(Y)$ から $F(X) \xrightarrow{F(g)} FG(Y) \xrightarrow{\varepsilon_Y} Y$ への対応を $\Psi_{\langle X, Y \rangle}$

とおきます。

$\mathrm{Hom}_\mathcal{D}(F(-), -) \overset{\Phi}{\Longrightarrow} \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-, G(-))$ (カリー化)
$\mathrm{Hom}_\mathcal{D}(F(-), -) \overset{\Psi}{\Longleftarrow} \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-, G(-))$ (アンカリー化)

は以下の図式が可換図式となることから自然変換となります。

$X \xrightarrow{x} X'$ 、 $Y \xrightarrow{y} Y'$ に関する以下の図式を考えます。(図式1) \begin{CD}
\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(X),Y) @> \Phi_{\langle X, Y \rangle} >> \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,G(Y)) \\
@V \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(x),y) VV @VV \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(x,G(y)) V \\
\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(X'),Y') @> \Phi_{\langle X', Y' \rangle} >> \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X',G(Y')) \\
\end{CD}

$F(X) \xrightarrow{f} Y$ をとると、 $\eta$ が自然変換であることから $GF(x) \circ η_{X'} = η_{X} \circ x$ となるので \begin{eqnarray*}
\Phi_{\langle X', Y' \rangle} ( \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(x),y) (f) )
& = & \Phi_{\langle X', Y' \rangle} ( y \circ f \circ F(x) ) \\
& = & G(y) \circ G(f) \circ GF(x) \circ η_{X'} \\
& = & G(y) \circ G(f) \circ η_{X} \circ x \\
& = & \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(x,G(y)) ( G(f) \circ η_{X} ) \\
& = & \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(x,G(y)) ( \Phi_{\langle X, Y \rangle}(f) ) \\
\end{eqnarray*} となって、(図式1)は可換図式となります。よって $\Phi$ は自然変換となります。

$X \xrightarrow{x} X'$ 、 $Y \xrightarrow{y} Y'$ に関する以下の図式を考えます。(図式2) \begin{CD}
\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(X),Y) @< \Psi_{\langle X, Y \rangle} << \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,G(Y)) \\
@V \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(x),y) VV @VV \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(x,G(y)) V \\
\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(X'),Y') @< \Psi_{\langle X', Y' \rangle} << \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X',G(Y')) \\
\end{CD}

$X \xrightarrow{g} G(Y)$ をとると、 $\varepsilon$ が自然変換であることから $ε_{Y'} \circ FG(y) = y \circ ε_{Y}$ となるので \begin{eqnarray*}
\Psi_{\langle X', Y' \rangle} ( \mathrm{Hom}_{\mathcal{c}}(x,G(y)) (g) )
& = & \Phi_{\langle X', Y' \rangle} ( G(y) \circ g \circ x ) \\
& = & ε_{Y'} \circ FG(y) \circ F(g) \circ F(x) \\
& = & y \circ ε_{Y} \circ F(g) \circ F(x) \\
& = & \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(x),y) ( ε_{Y} \circ F(g) ) \\
& = & \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(x),y) ( \Psi_{\langle X, Y \rangle}(g) ) \\
\end{eqnarray*} となって、(図式2)は可換図式となります。よって $\Psi$ は自然変換となります。

$(Fη)_X = F(η_X)$ 、 $(εF)_X = ε_{F(X)}$ なので三角等式を書き換えると(図式3) \begin{CD}
F(X) @> 1_{F(X)} >> F(X) \\
@V F(η_X) VV @VV 1_{F(X)} V \\
FGF(X) @>> ε_{F(X)} > F(X)
\end{CD} は可換図式となります。 $F(X) \xrightarrow{f} Y$ をとると、 $ε$ は自然変換なので(図式4) \begin{CD}
F(X) @> 1_{F(X)} >> F(X) \\
@V F(η_X) VV @VV 1_{F(X)} V \\
FGF(X) @>> ε_{F(X)} > F(X) \\
@V FG(f) VV @VV f V \\
F(X) @>> ε_{Y} > Y
\end{CD} は可換図式となります。よって \begin{eqnarray*}
\Psi_{\langle X, Y \rangle} ( \Phi_{\langle X, Y \rangle} (f) )
& = & \Psi_{\langle X, Y \rangle} ( G(f) \circ η_{X} ) \\
& = & ε_{Y} \circ FG(f) \circ F(η_{X}) \\
& = & f \\
\end{eqnarray*} となって、 $\Psi \circ \Phi$ は $\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), -)$ の恒等自然変換となります。

$(Gε)_Y = G(ε_Y)$ 、 $(ηG)_Y = η_{G(Y)}$ なので三角等式を書き換えると(図式5) \begin{CD}
G(Y) @> η_{G(Y)} >> GFG(Y) \\
@V 1_{G(Y)} VV @VV G(ε_Y) V \\
G(Y) @>> 1_{G(Y)} > G(Y)
\end{CD} は可換図式となります。 $X \xrightarrow{g} G(Y)$ をとると、 $η$ は自然変換なので(図式6) \begin{CD}
X @> η_{X} >> GF(X) \\
@V g VV @VV GF(g) V \\
G(Y) @> η_{G(Y)} >> GFG(Y) \\
@V 1_{G(Y)} VV @VV G(ε_Y) V \\
G(Y) @>> 1_{G(Y)} > G(Y)
\end{CD} は可換図式となります。よって \begin{eqnarray*}
\Phi_{\langle X, Y \rangle} ( \Psi_{\langle X, Y \rangle} (g) )
& = & \Phi_{\langle X, Y \rangle} ( ε_Y \circ F(g) ) \\
& = & G(ε_{Y}) \circ GF(g) \circ η_{X} \\
& = & g \\
\end{eqnarray*} となって、 $\Phi \circ \Psi$ は $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(-))$ の恒等自然変換となります。