モノイドの左逆元・右逆元
をモノイド(
は単位元)とします。
- (L)
に対して、
であるような
を
の左逆元と呼びます。
- (R)
であるような
を
が左逆元
と右逆元
を持つならば、
となります。
[証明]
(L)より
(R)より
よって結合法則より
[証明終わり]
これも「マグマの左単位元・右単位元」と同様に変形していくことができます。 を
で生成された自由マグマとします。書き換え規則は \begin{cases}
\rho_{1} & = & ( & x, y, z & \mapsto & (x \cdot y) \cdot z & \to & x \cdot (y \cdot z) & ) \\
\rho_{2} & = & ( & x, y, z & \mapsto & x \cdot (y \cdot z) & \to & (x \cdot y) \cdot z & ) \\
\rho_{3} & = & ( & x & \mapsto & e \cdot x & \to & x & ) \\
\rho_{4} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & e \cdot x & ) \\
\rho_{5} & = & ( & x & \mapsto & x \cdot e & \to & x & ) \\
\rho_{6} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & x \cdot e & ) \\
\rho_{7} & = & ( & & \mapsto & x_L \cdot x & \to & e & ) \\
\rho_{8} & = & ( & & \mapsto & e & \to & x_L \cdot x & ) \\
\rho_{9} & = & ( & & \mapsto & x \cdot x_R & \to & e & ) \\
\rho_{10} & = & ( & & \mapsto & e & \to & x \cdot x_R & ) \\
\end{cases} となります。2段階まで変形を行った結果は \begin{cases}
x_L & \xrightarrow{\rho_{4}} & e \cdot x_L & \xrightarrow{\rho_{3}} & x_L \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{4}} & e \cdot x_L & \xrightarrow{\rho_{4}} & e \cdot (e \cdot x_L) \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{4}} & e \cdot x_L & \xrightarrow{\rho_{4}} & (e \cdot e) \cdot x_L \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{4}} & e \cdot x_L & \xrightarrow{\rho_{4}} & e \cdot (e \cdot x_L) \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & x_L \cdot e & \xrightarrow{\rho_{4}} & e \cdot (x_L \cdot e) \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & x_L \cdot e & \xrightarrow{\rho_{4}} & (e \cdot x_L) \cdot e \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & x_L \cdot e & \xrightarrow{\rho_{4}} & x_L \cdot (e \cdot e) \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & x_L \cdot e & \xrightarrow{\rho_{5}} & x_L \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{4}} & e \cdot x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & (e \cdot x_L) \cdot e \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{4}} & e \cdot x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & (e \cdot e) \cdot x_L \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{4}} & e \cdot x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & e \cdot (x_L \cdot e) \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & x_L \cdot e & \xrightarrow{\rho_{6}} & (x_L \cdot e) \cdot e \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & x_L \cdot e & \xrightarrow{\rho_{6}} & (x_L \cdot e) \cdot e \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & x_L \cdot e & \xrightarrow{\rho_{6}} & x_L \cdot (e \cdot e) \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{4}} & e \cdot x_L & \xrightarrow{\rho_{8}} & (x_L \cdot x) \cdot x_L \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & x_L \cdot e & \xrightarrow{\rho_{8}} & x_L \cdot (x_L \cdot x) \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{4}} & e \cdot x_L & \xrightarrow{\rho_{10}} & (x \cdot x_R) \cdot x_L \\
x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & x_L \cdot e & \xrightarrow{\rho_{10}} & x_L \cdot (x \cdot x_R) \\
\end{cases} となります。多すぎるので、5段階まで変形を行った結果を一つだけ書くと \begin{matrix}
x_L & \xrightarrow{\rho_{6}} & x_L \cdot e & \xrightarrow{\rho_{10}} & x_L \cdot (x \cdot x_R) & \xrightarrow{\rho_{2}} & (x_L \cdot x) \cdot x_R & \xrightarrow{\rho_{7}} & e \cdot x_R & \xrightarrow{\rho_{3}} & x_R \\
\end{matrix} となって、上記の証明の結果が得られます。このとき \begin{cases}
X_1 = \{x_1\}, & σ_1 : X_1 \to M[X_1], & σ_1(x_1) = x_L ; \\
X_2 = \{ \} ; \\
X_3 = \{x_3, y_3, z_3\}, & σ_3 : X_3 \to M[X_1][X_3], & σ_3(x_3) = x_L, σ_3(y_3) = x, σ_3(z_3) = x_R ; \\
X_4 = \{ \} ; \\
X_5 = \{x_5\}, & σ_5 : X_5 \to M[X_1][X_3][X_5], & σ_5(x_5) = x_R ; \\
\end{cases} となっています。これらをまとめると \begin{cases}
X = \{x_1, x_3, y_3, z_3, x_5\}, \\
σ : X \to M[X], \\
σ(x_1) = x_L, \\
σ(x_3) = x_L, \\
σ(y_3) = x, \\
σ(z_3) = x_R, \\
σ(x_5) = x_R \\
\end{cases} となります。 と書き換え規則を組み合わせて写像にしたものを
とすると、
となります。
