エレファント・ビジュアライザー調査記録

ビジュアルプログラミングで数式の変形を表すことを考えていくブロクです。

エレファントな群とリー代数(8)

環の性質(2)

任意の  n 項演算を任意の個数もつ代数的構造に対しても「±マグマ」と同様の議論が成り立ちます。これを「一般マグマ」と呼ぶことにします。「一般マグマ」によって環の性質を証明することができます。

前回の続きを書いていきます。\begin{cases}
\rho_{1} & = & ( & x & \mapsto & 0 + x & \to & x & ) \\
\rho_{2} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & 0 + x & ) \\
\rho_{3} & = & ( & x & \mapsto & x + 0 & \to & x & ) \\
\rho_{4} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & x + 0 & ) \\
\rho_{5} & = & ( & x & \mapsto & (-x) + x & \to & 0 & ) \\
\rho_{6} & = & ( & x & \mapsto & 0 & \to & (-x) + x & ) \\
\rho_{7} & = & ( & x & \mapsto & x + (-x) & \to & 0 & ) \\
\rho_{8} & = & ( & x & \mapsto & 0 & \to & x + (-x) & ) \\
\rho_{9} & = & ( & x, y, z & \mapsto & (x + y) + z & \to & x + (y + z) & ) \\
\rho_{10} & = & ( & x, y, z & \mapsto & x + (y + z) & \to & (x + y) + z & ) \\
\rho_{11} & = & ( & x, y, z & \mapsto & (x y) z & \to & x (y z) & ) \\
\rho_{12} & = & ( & x, y, z & \mapsto & x (y z) & \to & (x y) z & ) \\
\rho_{13} & = & ( & y, x, z & \mapsto & x (y + z) & \to & x y + x z & ) \\
\rho_{14} & = & ( & x, y, z & \mapsto & x y + x z & \to & x (y + z) & ) \\
\rho_{15} & = & ( & x, y, z & \mapsto & (x + y) z & \to & x z + y z & ) \\
\rho_{16} & = & ( & x, y, z & \mapsto & x z + y z & \to & (x + y) z & ) \\
\rho_{17} & = & ( & x & \mapsto & x 0 & \to & 0 & ) \\
\rho_{18} & = & ( & x & \mapsto & 0 & \to & x 0 & ) \\
\rho_{19} & = & ( & x & \mapsto & 0 x & \to & 0 & ) \\
\rho_{20} & = & ( & x & \mapsto & 0 & \to & 0 x & ) \\
\end{cases} から \begin{matrix}
x ( -y ) & \xrightarrow{\rho_{4}} & x ( -y ) + 0 \\
& \xrightarrow{\rho_{8}} & x ( -y ) + ( x_{8,2} + ( -x_{8,2} ) ) \\
& \xrightarrow{\rho_{10}} & ( x ( -y ) + y_{10,3} ) + ( -y_{10,3} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{14}} & x ( ( -y ) + z_{14,4} ) + ( -x z_{14,4} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{5}} & x 0 + ( -x y ) \\
& \xrightarrow{\rho_{17}} & 0 + ( -x y ) \\
& \xrightarrow{\rho_{1}} & -x y \\
( -x ) y & \xrightarrow{\rho_{4}} & ( -x ) y + 0 \\
& \xrightarrow{\rho_{8}} & ( -x ) y + ( x_{8,2} + ( -x_{8,2} ) ) \\
& \xrightarrow{\rho_{10}} & ( ( -x ) y + y_{10,3} ) + ( -y_{10,3} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{16}} & ( ( -x ) + y_{16,4} ) y + ( -y_{16,4} y ) \\
& \xrightarrow{\rho_{5}} & 0 y + ( -x y ) \\
& \xrightarrow{\rho_{19}} & 0 + ( -x y ) \\
& \xrightarrow{\rho_{1}} & -x y \\
\end{matrix} が成り立ちます。

\begin{cases}
\rho_{21} & = & ( & x, y & \mapsto & x (-y) & \to & -x y & ) \\
\rho_{22} & = & ( & x, y & \mapsto & -x y & \to & x (-y) & ) \\
\rho_{23} & = & ( & x, y & \mapsto & (-x) y & \to & -x y & ) \\
\rho_{24} & = & ( & x, y & \mapsto & -x y & \to & (-x) y & ) \\
\end{cases} を追加すると \begin{matrix}
( -x ) ( -y ) & \xrightarrow{\rho_{21}} & -( -x ) y \\
& \xrightarrow{\rho_{23}} & -( -x y ) \\
& \xrightarrow{\rho_{4}} & ( -( -x y ) ) + 0 \\
& \xrightarrow{\rho_{6}} & ( -( -x y ) ) + ( ( -x_{6,4} ) + x_{6,4} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{10}} & ( ( -( -x y ) ) + ( -z_{10,5} ) ) + z_{10,5} \\
& \xrightarrow{\rho_{5}} & 0 + x y \\
& \xrightarrow{\rho_{1}} & x y \\
\end{matrix} が成り立ちます。

 \rho_{1} から  \rho_{20} に \begin{cases}
\rho_{21} & = & ( & x & \mapsto & 1 x & \to & x & ) \\
\rho_{22} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & 1 x & ) \\
\rho_{23} & = & ( & x & \mapsto & x 1 & \to & x & ) \\
\rho_{24} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & x 1 & ) \\
\end{cases} を追加すると \begin{matrix}
x + y & \xrightarrow{\rho_{4}} & ( x + y ) + 0 \\
& \xrightarrow{\rho_{8}} & ( x + y ) + ( x_{8,2} + ( -x_{8,2} ) ) \\
& \xrightarrow{\rho_{10}} & ( ( x + y ) + y_{10,3} ) + ( -y_{10,3} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{9}} & ( x + ( y + z_{9,4} ) ) + ( -z_{9,4} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{2}} & ( 0 + ( x + ( y + z_{9,4} ) ) ) + ( -z_{9,4} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{6}} & ( ( ( -x_{6,6} ) + x_{6,6} ) + ( x + ( y + z_{9,4} ) ) ) + ( -z_{9,4} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{9}} & ( ( -y_{9,7} ) + ( y_{9,7} + ( x + ( y + z_{9,4} ) ) ) ) + ( -z_{9,4} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{10}} & ( ( -x_{10,8} ) + ( ( x_{10,8} + x ) + ( y + z_{9,4} ) ) ) + ( -z_{9,4} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{22}} & ( ( -x_{10,8} ) + ( ( x_{10,8} + x ) + ( y + 1 x_{22,9} ) ) ) + ( -x_{22,9} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{22}} & ( ( -x_{10,8} ) + ( ( x_{10,8} + x ) + ( 1 y + 1 x_{22,9} ) ) ) + ( -x_{22,9} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{24}} & ( ( -x_{10,8} ) + ( ( x_{10,8} + x 1 ) + ( 1 y + 1 x_{22,9} ) ) ) + ( -x_{22,9} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{14}} & ( ( -x_{10,8} ) + ( ( x_{10,8} + x 1 ) + 1 ( y + z_{14,12} ) ) ) + ( -z_{14,12} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{14}} & ( ( -x y_{14,13} ) + ( x ( y_{14,13} + 1 ) + 1 ( y + z_{14,12} ) ) ) + ( -z_{14,12} ) \\
& \xrightarrow{\rho_{16}} & ( ( -x y ) + ( x + 1 ) ( y + 1 ) ) + ( -1 ) \\
& \xrightarrow{\rho_{13}} & ( ( -x y ) + ( ( x + 1 ) y + ( x + 1 ) 1 ) ) + ( -1 ) \\
& \xrightarrow{\rho_{15}} & ( ( -x y ) + ( ( x y + 1 y ) + ( x + 1 ) 1 ) ) + ( -1 ) \\
& \xrightarrow{\rho_{15}} & ( ( -x y ) + ( ( x y + 1 y ) + ( x 1 + 1 \cdot 1 ) ) ) + ( -1 ) \\
& \xrightarrow{\rho_{21}} & ( ( -x y ) + ( ( x y + y ) + ( x 1 + 1 \cdot 1 ) ) ) + ( -1 ) \\
& \xrightarrow{\rho_{23}} & ( ( -x y ) + ( ( x y + y ) + ( x + 1 \cdot 1 ) ) ) + ( -1 ) \\
& \xrightarrow{\rho_{21}} & ( ( -x y ) + ( ( x y + y ) + ( x + 1 ) ) ) + ( -1 ) \\
& \xrightarrow{\rho_{9}} & ( ( -x y ) + ( x y + ( y + ( x + 1 ) ) ) ) + ( -1 ) \\
& \xrightarrow{\rho_{10}} & ( ( ( -x y ) + x y ) + ( y + ( x + 1 ) ) ) + ( -1 ) \\
& \xrightarrow{\rho_{5}} & ( 0 + ( y + ( x + 1 ) ) ) + ( -1 ) \\
& \xrightarrow{\rho_{1}} & ( y + ( x + 1 ) ) + ( -1 ) \\
& \xrightarrow{\rho_{10}} & ( ( y + x ) + 1 ) + ( -1 ) \\
& \xrightarrow{\rho_{9}} & ( y + x ) + ( 1 + ( -1 ) ) \\
& \xrightarrow{\rho_{7}} & ( y + x ) + 0 \\
& \xrightarrow{\rho_{3}} & y + x \\
\end{matrix} が成り立ちます。

さらに \begin{cases}
\rho_{25} & = & ( & & \mapsto & 1 & \to & 0 & ) \\
\rho_{26} & = & ( & & \mapsto & 0 & \to & 1 & ) \\
\end{cases} を追加すると \begin{matrix}
x & \xrightarrow{\rho_{22}} & 1 x & \xrightarrow{\rho_{25}} & 0 x & \xrightarrow{\rho_{19}} & 0 \\
\end{matrix} が成り立ちます。