一般マグマの多項式の等式の合成(2)
続いて単位元をもつマグマの準同型についても見ていきます。
単位元をもつマグマの準同型(1)
第1段階
等式の集合 \begin{cases}
\mathrm{eq}_{1}: & x & \mapsto & e x & = & x \\
\mathrm{eq}_{2}: & x & \mapsto & x e' & = & x \\
\mathrm{eq}_{3}: & x, y & \mapsto & f( x y ) & = & f( x ) f( y ) \\
\mathrm{eq}_{4}: & & \mapsto & f( x ) & = & e' \\
\end{cases} から \begin{cases}
\mathrm{eq}_{1}: & x & \mapsto & e x & = & x \\
\mathrm{eq}_{3}: & x, y & \mapsto & f( x y ) & = & f( x ) f( y ) \\
\end{cases} を選択して合成すると \begin{cases}
\mathrm{ceq}_{1}: & x, y & \mapsto & f( e ( x y ) ) & = & f( x ) f( y ) \\
\mathrm{ceq}_{2}: & x, y & \mapsto & f( ( e x ) y ) & = & f( x ) f( y ) \\
\mathrm{ceq}_{3}: & x, y & \mapsto & f( x ( e y ) ) & = & f( x ) f( y ) \\
\mathrm{ceq}_{4}: & x, y & \mapsto & f( e x ) f( y ) & = & f( x y ) \\
\mathrm{ceq}_{5}: & x, y & \mapsto & f( x ) f( e y ) & = & f( x y ) \\
\mathrm{ceq}_{6}: & x & \mapsto & f( x ) & = & f( e ) f( x ) \\
\mathrm{ceq}_{7}: & x, y & \mapsto & f( x y ) & = & f( e x ) f( y ) \\
\mathrm{ceq}_{8}: & x, y & \mapsto & f( x y ) & = & f( x ) f( e y ) \\
\mathrm{ceq}_{9}: & x, y & \mapsto & f( x ) f( y ) & = & f( ( e x ) y ) \\
\mathrm{ceq}_{10}: & x, y & \mapsto & f( x ) f( y ) & = & f( x ( e y ) ) \\
\end{cases} が得られます。
第2段階
等式の集合に を追加し \begin{cases}
\mathrm{eq}_{4}: & & \mapsto & f( x ) & = & e' \\
\mathrm{eq}_{5}: & x & \mapsto & f( x ) & = & f( e ) f( x ) \\
\end{cases} を選択して合成すると \begin{cases}
\mathrm{ceq}_{1}: & & \mapsto & e' & = & f( e ) f( x ) \\
\mathrm{ceq}_{2}: & & \mapsto & f( e ) e' & = & f( x ) \\
\end{cases} が得られます。
第3段階
等式の集合に を追加し \begin{cases}
\mathrm{eq}_{4}: & & \mapsto & f( x ) & = & e' \\
\mathrm{eq}_{6}: & & \mapsto & f( e ) e' & = & f( x ) \\
\end{cases} を選択して合成すると \begin{cases}
\mathrm{ceq}_{1}: & & \mapsto & f( e ) f( x ) & = & f( x ) \\
\mathrm{ceq}_{2}: & & \mapsto & e' & = & f( e ) e' \\
\end{cases} が得られます。
第4段階
等式の集合に を追加し \begin{cases}
\mathrm{eq}_{2}: & x & \mapsto & x e' & = & x \\
\mathrm{eq}_{7}: & & \mapsto & e' & = & f( e ) e' \\
\end{cases} を選択して合成すると \begin{cases}
\mathrm{ceq}_{1}: & & \mapsto & e' e' & = & f( e ) e' \\
\mathrm{ceq}_{2}: & & \mapsto & ( f( e ) e' ) e' & = & e' \\
\mathrm{ceq}_{3}: & & \mapsto & ( f( e ) e' ) e' & = & e' \\
\mathrm{ceq}_{4}: & & \mapsto & f( e ) ( e' e' ) & = & e' \\
\mathrm{ceq}_{5}: & & \mapsto & e' & = & ( f( e ) e' ) e' \\
\mathrm{ceq}_{6}: & x & \mapsto & x & = & x ( f( e ) e' ) \\
\mathrm{ceq}_{7}: & & \mapsto & f( e ) & = & e' \\
\mathrm{ceq}_{8}: & & \mapsto & f( e ) e' & = & e' e' \\
\end{cases} が得られます。よって \begin{matrix}
\mathrm{ceq}_{7}: & & \mapsto & f( e ) & = & e' \\
\end{matrix} が成り立ちます。
単位元をもつマグマの準同型(2)
第1段階
等式の集合 \begin{cases}
\mathrm{eq}_{1}: & & \mapsto & x^{-1} x & = & e \\
\mathrm{eq}_{2}: & x, y & \mapsto & f( x y ) & = & f( x ) f( y ) \\
\mathrm{eq}_{3}: & & \mapsto & f( e ) & = & e' \\
\end{cases} から \begin{cases}
\mathrm{eq}_{1}: & & \mapsto & x^{-1} x & = & e \\
\mathrm{eq}_{2}: & x, y & \mapsto & f( x y ) & = & f( x ) f( y ) \\
\end{cases} を選択して合成すると \begin{cases}
\mathrm{ceq}_{1}: & y & \mapsto & f( ( x^{-1} x ) y ) & = & f( e ) f( y ) \\
\mathrm{ceq}_{2}: & y & \mapsto & f( y ( x^{-1} x ) ) & = & f( y ) f( e ) \\
\mathrm{ceq}_{3}: & y & \mapsto & f( x^{-1} x ) f( y ) & = & f( e y ) \\
\mathrm{ceq}_{4}: & y & \mapsto & f( y ) f( x^{-1} x ) & = & f( y e ) \\
\mathrm{ceq}_{5}: & & \mapsto & f( e ) & = & f( x^{-1} ) f( x ) \\
\mathrm{ceq}_{6}: & y & \mapsto & f( e y ) & = & f( x^{-1} x ) f( y ) \\
\mathrm{ceq}_{7}: & y & \mapsto & f( y e ) & = & f( y ) f( x^{-1} x ) \\
\mathrm{ceq}_{8}: & y & \mapsto & f( e ) f( y ) & = & f( ( x^{-1} x ) y ) \\
\mathrm{ceq}_{9}: & y & \mapsto & f( y ) f( e ) & = & f( y ( x^{-1} x ) ) \\
\end{cases} が得られます。
第2段階
等式の集合に を追加し \begin{cases}
\mathrm{eq}_{3}: & & \mapsto & f( e ) & = & e' \\
\mathrm{eq}_{4}: & & \mapsto & f( e ) & = & f( x^{-1} ) f( x ) \\
\end{cases} を選択して合成すると \begin{matrix}
\mathrm{ceq}_{1}: & & \mapsto & e' & = & f( x^{-1} ) f( x ) \\
\end{matrix} が得られます。
単位元をもつマグマの準同型(3)
第1段階
等式の集合 \begin{cases}
\mathrm{eq}_{1}: & & \mapsto & x^{-1} x & = & e \\
\mathrm{eq}_{2}: & x, y & \mapsto & f( x y ) & = & f( x ) f( y ) \\
\mathrm{eq}_{3}: & & \mapsto & f( x^{-1} ) f( x ) & = & e' \\
\end{cases} から \begin{cases}
\mathrm{eq}_{1}: & & \mapsto & x^{-1} x & = & e \\
\mathrm{eq}_{2}: & x, y & \mapsto & f( x y ) & = & f( x ) f( y ) \\
\end{cases} を選択して合成すると \begin{cases}
\mathrm{ceq}_{1}: & y & \mapsto & f( ( x^{-1} x ) y ) & = & f( e ) f( y ) \\
\mathrm{ceq}_{2}: & y & \mapsto & f( y ( x^{-1} x ) ) & = & f( y ) f( e ) \\
\mathrm{ceq}_{3}: & y & \mapsto & f( x^{-1} x ) f( y ) & = & f( e y ) \\
\mathrm{ceq}_{4}: & y & \mapsto & f( y ) f( x^{-1} x ) & = & f( y e ) \\
\mathrm{ceq}_{5}: & & \mapsto & f( e ) & = & f( x^{-1} ) f( x ) \\
\mathrm{ceq}_{6}: & y & \mapsto & f( e y ) & = & f( x^{-1} x ) f( y ) \\
\mathrm{ceq}_{7}: & y & \mapsto & f( y e ) & = & f( y ) f( x^{-1} x ) \\
\mathrm{ceq}_{8}: & y & \mapsto & f( e ) f( y ) & = & f( ( x^{-1} x ) y ) \\
\mathrm{ceq}_{9}: & y & \mapsto & f( y ) f( e ) & = & f( y ( x^{-1} x ) ) \\
\end{cases} が得られます。
第2段階
等式の集合に を追加し \begin{cases}
\mathrm{eq}_{3}: & & \mapsto & f( x^{-1} ) f( x ) & = & e' \\
\mathrm{eq}_{4}: & & \mapsto & f( e ) & = & f( x^{-1} ) f( x ) \\
\end{cases} を選択して合成すると \begin{matrix}
\mathrm{ceq}_{1}: & & \mapsto & e' & = & f( e ) \\
\end{matrix} が得られます。
