多重集合・自由可換モノイド(2) - 非専門的シンギュラリティー研究所

エレファントな整数論(13)の証明が間違っていたので書き直します。

整域 $R$ の素元全体の集合を $\mathrm{Pr}(R)$ 、既約元全体の集合を $\mathrm{Ir}(R)$ とします。

$R$ のイデアル $Ra$ ( $a$ で生成された単項イデアル)を $\overline{a}$ と書きます。 $X \subseteq R$ に対して $\{\overline{x} \mid x \in X\}$ を $\overline{X}$ と書きます。 $R$ のイデアル全体の集合を $\mathrm{Ideal}(R)$ とおきます。 $\{0\}$ を $0$ と書きます。

$\overline{\mathrm{Pr}(R)}$ 、 $\overline{\mathrm{Ir}(R)}$ によって( $\overline{R}$ の乗法によって)生成されたモノイドをそれぞれ $\overline{\mathrm{Pr}(R)}^*$ 、 $\overline{\mathrm{Ir}(R)}^*$ とおきます。

$\overline{R} = \overline{\mathrm{Pr}(R)}^* \cup \overline{0}$ のとき $R$ を一意分解整域と呼びます。

$\mathrm{Ideal}(R) = \overline{R}$ のとき $R$ を単項イデアル整域と呼びます。

$\overline{\mathrm{Pr}(R)} \subseteq \overline{\mathrm{Ir}(R)}$

[証明]
$\begin{eqnarray*} \overline{p} \in \overline{\mathrm{Pr}(R)} & \iff & \bigl[ \ \overline{a}\overline{b} \subseteq \overline{p} \implies \overline{a} \subseteq \overline{p} \lor \overline{b} \subseteq \overline{p} \ \bigr] \\ & \implies & \bigl[ \ \overline{a}\overline{b} = \overline{p} \implies \overline{a} \subseteq \overline{a}\overline{b} \lor \overline{b} \subseteq \overline{a}\overline{b} \ \bigr] \\ & \iff & \bigl[ \ \overline{a}\overline{b} = \overline{p} \implies \overline{b} = \overline{1} \lor \overline{a} = \overline{1} \ \bigr] \\ & \iff & \overline{p} \in \overline{\mathrm{Ir}(R)} \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

$\overline{R} = \overline{\mathrm{Pr}(R)}^* \cup \overline{0} \implies \overline{\mathrm{Pr}(R)} = \overline{\mathrm{Ir}(R)}$

[証明] $\overline{p} \in \overline{\mathrm{Ir}(R)} = \overline{\mathrm{Pr}(R)}^* \cap \overline{\mathrm{Ir}(R)}$ とすると

$\overline{p} = \overline{q_1} \cdots \overline{q_n}$ となる $\overline{q_i} \in \overline{\mathrm{Pr}(R)}$ が存在します。

$\overline{p} \in \overline{\mathrm{Ir}(R)}$ よりある $\overline{q_i}$ 以外は $\overline{1}$ となります。

よって $\overline{p} = \overline{q_i} \in \overline{\mathrm{Pr}(R)}$ となって $\overline{\mathrm{Ir}} \subseteq \overline{\mathrm{Pr}(R)}$ となります。

$\overline{\mathrm{Pr}(R)} \subseteq \overline{\mathrm{Ir}(R)}$ より $\overline{\mathrm{Pr}(R)} = \overline{\mathrm{Ir}(R)}$ となります。[証明終わり]

任意の自然数 $n$ に対して $I_n \in \mathrm{Ideal}(R)$ が定義されて任意の自然数 $n$ に対して $I_n \subsetneq I_{n+1}$ であるとき、イデアルの列 $\{I_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ をイデアルの無限上昇列と呼びます。 $R$ のイデアルの無限上昇列の全体を $\mathrm{Asc}(R)$ とします。 $R$ のイデアルの無限上昇列が存在しないとき( $\mathrm{Asc}(R) = \varnothing$ のとき) $R$ はネーター的であるといいます。

$\mathrm{Ideal}(R) = \overline{R} \implies \mathrm{Asc}(R) = \varnothing$

[証明] $\mathrm{Ideal}(R) = \overline{R}$ とし、 $\mathrm{Asc}(R) \ne \varnothing$ とします。 $\{I_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ をイデアルの無限上昇列とします。 $I = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} I_n$ とおくと $I$ は $R$ のイデアルとなります。 $I \in \mathrm{Ideal}(R) = \overline{R}$ より $I = \overline{a}$ となる $\overline{a} \in \overline{R}$ が存在します。 $a \in I_n$ となる $n \in \mathbb{N}$ が存在するので $I \subseteq I_n \subsetneq I_{n+1} \subseteq I$ となって矛盾。

よって $\mathrm{Asc}(R) = \varnothing$ となります。[証明終わり]

$\mathrm{Asc}(R) = \varnothing \implies \overline{R} = \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* \cup \overline{0}$

[証明] $\overline{R} \supsetneq \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* \cup \overline{0}$ とし $\overline{a} \in \overline{R} \setminus \left( \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* \cup \overline{0} \right)$ をとります。

$R$ のイデアルの無限上昇列 $\{\overline{a_n} \mid n \in \mathbb{N}\}$ で $\overline{a_n} \in \overline{R} \setminus \left( \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* \cup \overline{0} \right)$ であるものを以下のように帰納的に定義することができます。

$\overline{a_0} = \overline{a}$ とおきます。

$\overline{a_n} \in \overline{R} \setminus \left( \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* \cup \overline{0} \right)$ に対して $\overline{a_n} \notin \overline{\mathrm{Ir}(R)}$ であるから $\overline{a_n} = \overline{b}\overline{c}$ 、 $\overline{b} \ne \overline{1}$ 、 $\overline{c} \ne \overline{1}$ となる $\overline{b}, \overline{c} \in \overline{R}$ が存在します。 $\overline{b}, \overline{c} \in \overline{\mathrm{Ir}(R)}^*$ ならば $\overline{a_n} \in \overline{\mathrm{Ir}(R)}^*$ となりますが $\overline{a_n} \notin \overline{\mathrm{Ir}(R)}^*$ なので $\overline{b} \notin \overline{\mathrm{Ir}(R)}^*$ または $\overline{c} \notin \overline{\mathrm{Ir}(R)}^*$ となります。よってこのどちらかをとれば $\overline{a_{n+1}} \notin \overline{\mathrm{Ir}(R)}^*$ となる $\overline{a_{n+1}}$ をとることができます。これを $\overline{a_{n+1}}$ とおきます。