エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

多重集合・自由可換モノイド(2)

エレファントな整数論(13)の証明が間違っていたので書き直します。

整域  R の素元全体の集合を  \mathrm{Pr}(R)、既約元全体の集合を  \mathrm{Ir}(R) とします。

 Rイデアル  Ra ( a で生成された単項イデアル)を  \overline{a} と書きます。 X \subseteq R に対して  \{\overline{x} \mid x \in X\} \overline{X} と書きます。 Rイデアル全体の集合を  \mathrm{Ideal}(R) とおきます。 \{0\} 0 と書きます。

 \overline{\mathrm{Pr}(R)} \overline{\mathrm{Ir}(R)} によって( \overline{R} の乗法によって)生成されたモノイドをそれぞれ  \overline{\mathrm{Pr}(R)}^* \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* とおきます。

 \overline{R} = \overline{\mathrm{Pr}(R)}^* \cup \overline{0} のとき  R を一意分解整域と呼びます。

 \mathrm{Ideal}(R) = \overline{R} のとき  R を単項イデアル整域と呼びます。

 \overline{\mathrm{Pr}(R)} \subseteq \overline{\mathrm{Ir}(R)}

[証明]
 \begin{eqnarray*}
\overline{p} \in \overline{\mathrm{Pr}(R)} 
 & \iff & \bigl[ \ \overline{a}\overline{b} \subseteq \overline{p} \implies \overline{a} \subseteq \overline{p} \lor \overline{b} \subseteq \overline{p} \ \bigr] \\
 & \implies & \bigl[ \ \overline{a}\overline{b} = \overline{p} \implies \overline{a} \subseteq \overline{a}\overline{b} \lor \overline{b} \subseteq \overline{a}\overline{b} \ \bigr] \\
 & \iff & \bigl[ \ \overline{a}\overline{b} = \overline{p} \implies \overline{b} = \overline{1} \lor \overline{a} = \overline{1} \ \bigr] \\
 & \iff & \overline{p} \in \overline{\mathrm{Ir}(R)}
\end{eqnarray*}
[証明終わり]

 \overline{R} = \overline{\mathrm{Pr}(R)}^* \cup \overline{0} \implies \overline{\mathrm{Pr}(R)} = \overline{\mathrm{Ir}(R)}

[証明]  \overline{p} \in \overline{\mathrm{Ir}(R)} = \overline{\mathrm{Pr}(R)}^* \cap \overline{\mathrm{Ir}(R)} とすると

 \overline{p} = \overline{q_1} \cdots \overline{q_n} となる  \overline{q_i} \in \overline{\mathrm{Pr}(R)} が存在します。

 \overline{p} \in \overline{\mathrm{Ir}(R)} よりある  \overline{q_i} 以外は  \overline{1} となります。

よって  \overline{p} = \overline{q_i} \in \overline{\mathrm{Pr}(R)} となって  \overline{\mathrm{Ir}} \subseteq \overline{\mathrm{Pr}(R)} となります。

 \overline{\mathrm{Pr}(R)} \subseteq \overline{\mathrm{Ir}(R)} より  \overline{\mathrm{Pr}(R)} = \overline{\mathrm{Ir}(R)} となります。[証明終わり]

任意の自然数  n に対して  I_n \in \mathrm{Ideal}(R) が定義されて任意の自然数  n に対して  I_n \subsetneq I_{n+1} であるとき、イデアルの列  \{I_n \mid n \in \mathbb{N}\}イデアルの無限上昇列と呼びます。 Rイデアルの無限上昇列の全体を  \mathrm{Asc}(R) とします。 Rイデアルの無限上昇列が存在しないとき( \mathrm{Asc}(R) = \varnothing のとき)  R はネーター的であるといいます。

 \mathrm{Ideal}(R) = \overline{R} \implies \mathrm{Asc}(R) = \varnothing

[証明]  \mathrm{Ideal}(R) = \overline{R} とし、 \mathrm{Asc}(R) \ne \varnothing とします。 \{I_n \mid n \in \mathbb{N}\}イデアルの無限上昇列とします。 I = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} I_n とおくと  I Rイデアルとなります。 I \in \mathrm{Ideal}(R) = \overline{R} より  I = \overline{a} となる  \overline{a} \in \overline{R} が存在します。 a \in I_n となる  n \in \mathbb{N} が存在するので  I \subseteq I_n \subsetneq I_{n+1} \subseteq I となって矛盾。

よって  \mathrm{Asc}(R) = \varnothing となります。[証明終わり]

 \mathrm{Asc}(R) = \varnothing \implies \overline{R} = \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* \cup \overline{0}

[証明]  \overline{R} \supsetneq \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* \cup \overline{0} とし  \overline{a} \in \overline{R} \setminus \left( \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* \cup \overline{0} \right) をとります。

 Rイデアルの無限上昇列  \{\overline{a_n} \mid n \in \mathbb{N}\} \overline{a_n} \in \overline{R} \setminus \left( \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* \cup \overline{0} \right) であるものを以下のように帰納的に定義することができます。

 \overline{a_0} = \overline{a} とおきます。

 \overline{a_n} \in \overline{R} \setminus \left( \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* \cup \overline{0} \right) に対して  \overline{a_n} \notin \overline{\mathrm{Ir}(R)} であるから  \overline{a_n} = \overline{b}\overline{c} \overline{b} \ne \overline{1} \overline{c} \ne \overline{1} となる  \overline{b}, \overline{c} \in \overline{R} が存在します。 \overline{b}, \overline{c} \in \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* ならば  \overline{a_n} \in \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* となりますが  \overline{a_n} \notin \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* なので  \overline{b} \notin \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* または  \overline{c} \notin \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* となります。よってこのどちらかをとれば  \overline{a_{n+1}} \notin \overline{\mathrm{Ir}(R)}^* となる  \overline{a_{n+1}} をとることができます。これを  \overline{a_{n+1}} とおきます。

よって  \mathrm{Asc}(R) \ne \varnothing となります。[証明終わり]