「単項イデアル整域では既約元は素元である」ということの証明を書いていなかったので付け加えます。
以下の条件を考えます。
の任意の元 の最大公約数 が存在する(ここでは は最大公約数を表すとします)。
が成り立つとします。
[証明] とし とします。 であり であることから または となります。 のときは となります。 のときは となります。
よって ならば となります。[証明終わり]
さらに以下の条件を考えます。
の任意の部分集合 で の任意の元 の最大公約数 が に属するものには最小元 が存在する。
[証明] の無限下降列 があるとします。 なので は最大公約数に関して閉じています。 より が存在します。 となって の最小性に矛盾。
よって となります。[証明終わり]