多重集合・自由可換モノイド(4) - エレファント・コンピューティング調査報告

「単項イデアル整域では既約元は素元である」ということの証明を書いていなかったので付け加えます。

以下の条件を考えます。

$\mathrm{Gcd}(M):$ $M$ の任意の元 $x, y$ の最大公約数 $x \land y$ が存在する(ここでは $\land$ は最大公約数を表すとします)。

$x \land y \le x, \ x \land y \le y \ (\forall x, y \in M)$
$z \le x, \ z \le y \implies z \le x \land y \ (\forall x, y, z \in M)$
$x \land y = y \land x \ (\forall x, y \in M)$
$(x \land y) \land z = x \land (y \land z) \ (\forall x, y, z \in M)$
$x \land x = x \ (\forall x \in M)$
$1 \land x = 1 \ (\forall x \in M)$
$(x \land y) z = xz \land yz \ (\forall x, y, z \in M)$

が成り立つとします。

$\mathrm{Gcd}(M) \implies \mathrm{Pr}(M) = \mathrm{Ir}(M)$

[証明] $p \in \mathrm{Ir}(M)$ とし $p \le xy$ とします。 $p \land x \le p$ であり $p \in \mathrm{Ir}(M)$ であることから $p \land x = p$ または $p \land x \le 1$ となります。 $p \land x = p$ のときは $p = p \land x \le x$ となります。 $p \land x = 1$ のときは $p \le py \land xy = (p \land x)y = y$ となります。

よって $p \in \mathrm{Ir}(M)$ ならば $p \in \mathrm{Pr}(M)$ となります。[証明終わり]

さらに以下の条件を考えます。

$\mathrm{Min}(M):$ $M$ の任意の部分集合 $S$ で $S$ の任意の元 $x, y$ の最大公約数 $x \land y$ が $S$ に属するものには最小元 $\min S$ が存在する。

$\mathrm{Min}(M) \implies \mathrm{Desc}(M) = \varnothing$

[証明] $M$ の無限下降列 $\{a_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ があるとします。 $a_n \land a_m = a_{\max\{n,m\}}$ なので $\{a_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ は最大公約数に関して閉じています。 $\mathrm{Min}(M)$ より $\min \{a_n \mid n \in \mathbb{N}\} = a_n$ が存在します。 $a_n \gneq a_{n+1}$ となって $a_n$ の最小性に矛盾。