エレファント・ビジュアライザー調査記録

ビジュアルプログラミングで数式の変形を表すことを考えていくブロクです。

多重集合・自由可換モノイド(4)

「単項イデアル整域では既約元は素元である」ということの証明を書いていなかったので付け加えます。

以下の条件を考えます。

 \mathrm{Gcd}(M):  M の任意の元  x, y の最大公約数  x \land y が存在する(ここでは  \land は最大公約数を表すとします)。

  •  x \land y \le x, \ x \land y \le y \ (\forall x, y \in M)
  •  z \le x, \ z \le y \implies  z \le x \land y \ (\forall x, y, z \in M)
  •  x \land y = y \land x \ (\forall x, y \in M)
  •  (x \land y) \land z = x \land (y \land z) \ (\forall x, y, z \in M)
  •  x \land x = x \ (\forall x \in M)
  •  1 \land x = 1 \ (\forall x \in M)
  •  (x \land y) z = xz \land yz \ (\forall x, y, z \in M)

が成り立つとします。

 \mathrm{Gcd}(M) \implies \mathrm{Pr}(M) = \mathrm{Ir}(M)

[証明]  p \in  \mathrm{Ir}(M) とし  p \le xy とします。 p \land x \le p であり  p \in  \mathrm{Ir}(M) であることから  p \land x = p または  p \land x \le 1 となります。 p \land x = p のときは  p = p \land x \le x となります。 p \land x = 1 のときは  p \le py \land xy = (p \land x)y = y となります。

よって  p \in  \mathrm{Ir}(M) ならば  p \in  \mathrm{Pr}(M) となります。[証明終わり]

さらに以下の条件を考えます。

 \mathrm{Min}(M):  M の任意の部分集合  S S の任意の元  x, y の最大公約数  x \land y S に属するものには最小元  \min S が存在する。