集合の計算(6) - エレファント・コンピューティング調査報告

「集合の計算(3)」の議論を $f \in \mathfrak{P}(X \times Y)$ の場合について考えます。

前回の結果から $f \in \mathcal{M}(X, Y)$ ( $f$ が写像)のときは $x \in X$ 、 $U \subseteq Y$ のとき

(i) $\overline{f}(\{x\}) \subseteq U \implies x \in \overline{f^{-1}}(U)$
(ii) $x \in \overline{f^{-1}}(U) \implies \overline{f}(\{x\}) \subseteq U$

が成り立ちます。

$f \in \mathfrak{P}(X \times Y)$ 、 $A \subseteq X$ 、 $B \subseteq X$ 、 $U \subseteq Y$ 、 $V \subseteq Y$ とします。

(iii) $f \in \mathcal{M}(X, Y)$ のとき $\overline{f}(A) \subseteq U \implies A \subseteq \overline{f^{-1}}(U)$

[証明] (i) より
$\begin{eqnarray*} & & \overline{f}(A) \subseteq U \land x \in A \\ & \implies & \overline{f}(A) \subseteq U \land \overline{f}(\{x\}) \subseteq \overline{f}(A) \\ & \implies & \overline{f}(A) \subseteq U \land \overline{f}(\{x\}) \subseteq U \\ & \implies & x \in \overline{f^{-1}}(U) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

(iv) $f \in \mathcal{M}(X, Y)$ のとき $A \subseteq \overline{f^{-1}}(U) \implies \overline{f}(A) \subseteq U$

[証明] (ii) より
$\begin{eqnarray*} & & A \subseteq \overline{f^{-1}}(U) \land y \in \overline{f}(A) \\ & \implies & A \subseteq \overline{f^{-1}}(U) \land \exists x ( y \in \overline{f}(\{x\}) \land x \in A ) \\ & \implies & \exists x ( y \in \overline{f}(\{x\}) \land x \in \overline{f^{-1}}(U) ) \\ & \implies & \exists x ( y \in \overline{f}(\{x\}) \land \overline{f}(\{x\}) \subseteq U ) \\ & \implies & y \in U \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

(9) $f \in \mathcal{M}(X, Y)$ のとき $A \subseteq \overline{f^{-1}}(\overline{f}(A))$

[証明] $\overline{f}(A) \subseteq \overline{f}(A)$ と(iii)から成り立ちます。[証明終わり]

(10) $f \in \mathcal{M}(X, Y)$ のとき $\overline{f}(\overline{f^{-1}}(U)) \subseteq U$

[証明] $\overline{f^{-1}}(U) \subseteq \overline{f^{-1}}(U)$ と(iv)から成り立ちます。[証明終わり]

(11) $\overline{f}(A) \setminus \overline{f}(B) \subseteq \overline{f}(A \setminus B)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} \overline{f}(A) \setminus \overline{f}(B) & = & \{ y \in Y \mid y \in \overline{f}(A) \land y \notin \overline{f}(B) \} \\ & = & \{ y \in Y \mid \exists a ( y \in \overline{f}(\{a\}) \land a \in A ) \\ & &\land \neg \exists b ( y \in \overline{f}(\{b\}) \land b \in B ) \} \\ & \subseteq & \{ y \in Y \mid \exists a ( y \in \overline{f}(\{a\}) \land a \in A \land a \notin B ) \} \\ & = & \{ y \in Y \mid \exists a ( y \in \overline{f}(\{a\}) \land a \in A \setminus B ) \} \\ & = & \overline{f}(A \setminus B) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

(12) $f \in \mathcal{M}(X, Y)$ のとき $\overline{f^{-1}}(U) \setminus \overline{f^{-1}}(V) = \overline{f^{-1}}(U \setminus V)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} \overline{f^{-1}}(U) \setminus \overline{f^{-1}}(V) & = & \{ x \in X \mid x \in \overline{f^{-1}}(U) \land x \notin \overline{f^{-1}}(V) \} \\ & = & \{ x \in X \mid \overline{f}(\{x\}) \subseteq U \land \overline{f}(\{x\}) \not \subseteq V \} \\ & = & \{ x \in X \mid \overline{f}(\{x\}) \subseteq U \land \overline{f}(\{x\}) \subseteq Y \setminus V \} \\ & = & \{ x \in X \mid \overline{f}(\{x\}) \subseteq U \setminus V \} \\ & = & \overline{f^{-1}}(U \setminus V) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]