ヒルベルトの第10問題(6) - 非専門的シンギュラリティー研究所

ヒルベルトの第10問題と不完全性定理の関連をさらに ChatGPT で調べていきます。「ヒルベルトの第10問題(4) - エレファント・ビジュアライザー調査記録」の続きとして入力していきます。

この問題について知りたいわけではなく、プログラミング言語の関数に適用できるかどうかを調べているので、なんとか ChatGPT でやれないかと思っているのですが、何も指摘しないと進まないので指摘してみました。

良い答えが返されなかったので、さらに指摘していくため、これまでの結果をまとめておきます。以下のようになります。

ヒルベルトの第10問題のまとめ

ChatGPT の結果をまとめると以下のようになります。

ディオファントス方程式を自然数で表すとします。この自然数をディオファントス方程式のコードと呼ぶことにします。

(1) 以下のような帰納的関数が存在すると仮定します( はディオファントス方程式のコード)。
- $D(x) = 1$ のとき、コード $x$ のディオファントス方程式は解を持つ。
- $D(x) = 0$ のとき、コード $x$ のディオファントス方程式は解を持たない。
(2) とおきます。
- $H(x)$ は、 $D(x)$ の否定を表しています。
- $D(x)$ が帰納的関数なので、 $H(x)$ も帰納的関数となります。
- マティヤセビッチの定理より、あるディオファントス方程式 $P_H(x, y, z_1, \ldots, z_m) = 0$ が存在し、次が成り立ちます: $H(x) = y \iff z_1, \ldots, z_m \text{が存在して} P_H(x, y, z_1, \ldots, z_m) = 0$
(3) をのコードとします。
- $D(k) = 1$ の場合: (1)より $P_H$ は解を持つ。よって、(1)より $H(k) = 1$ となります。しかし(2)より $H(k) = 1 - D(k) = 0$ となり矛盾。
- $D(k) = 0$ の場合 (1)より $P_H$ は解を持たない。よって、(1)より $H(k) = 0$ となります。しかし(2)より $H(k) = 1 - D(k) = 1$ となり矛盾。

この結果に基づいて

$n(x)$ を、「コード $x$ のディオファントス方程式」の否定を表すディオファントス方程式のコード
$p(x)$ を、「コード $x$ のディオファントス方程式は解を持つ」ことを表すディオファントス方程式のコード

とすれば良さそうです。 $n(x)$ が意味がわかりにくいですがディオファントス方程式をコード化しなければならないのでこのようになります。意味が伝わるかどうかわかりませんが、いったんこのように指摘してみます。

$k = k \gg p \gg n$ によって「ディオファントス方程式が解を持つかどうかを判定する帰納的関数が存在すると矛盾が生じること」を証明するには $p$ は何にすれば良いですか

と入力すると以下の結果となりました。

$k = k \gg p \gg n$ を利用して、ディオファントス方程式が解を持つかどうかを判定する帰納的関数の存在と矛盾を導くためには、 $p$ を次のように設定します：

1. ディオファントス方程式の判定関数を考える

ディオファントス方程式が解を持つかどうかを判定する関数を $D$ とします。
$D(e)$ は式 $e$ が解を持つなら真、持たないなら偽を返す関数です。
仮にこの $D$ が帰納的関数として存在するなら、チューリングの停止性問題と同様の方法で矛盾が導けます。

2. 停止性問題との関連

停止性問題を判定する関数 $H$ を考えます。
$H(f, x)$ は関数 $f$ に $x$ を与えたとき、停止するなら真、停止しないなら偽を返します。
ディオファントス方程式の解の存在判定は停止性問題と同程度の計算困難さを持つことが知られています。
具体的には、停止性問題をディオファントス方程式の解の存在判定に帰着できます。

3. $p$ の選択

停止性問題をディオファントス方程式の形にエンコードするために、
$p$ を「停止性問題をエンコードしたディオファントス方程式」に設定します。
つまり、
$\displaystyle p = P_{H}$
ここで、 $P_H$ は次を満たすディオファントス方程式です：

$P_H(f, x)$ が解を持つ ⇔ $f(x)$ が停止する

この $p$ を用いることで、 $k = k \gg p \gg n$ の形式が自己参照的な停止性問題を表現することになります。

4. 矛盾の導出

$k = k \gg p \gg n$ は再帰的定義により自己参照構造を持ち、停止性問題の自己言及に相当する。

もし $D$ が存在するなら、停止性問題を帰納的に解けることになり、チューリングの停止性問題の非決定性に矛盾する。

したがって、 $D$ のような帰納的関数は存在し得ません。

結論

$p$ を「停止性問題をエンコードしたディオファントス方程式」 $P_H$ に設定することで、
「ディオファントス方程式が解を持つかどうかを判定する帰納的関数が存在するなら矛盾が生じる」ことを証明できます。

これは良い答えではなかったので、最初に書いたようにさらに指摘してみます。

$x \gg n$ を、「コード $x$ のディオファントス方程式」の否定を表すディオファントス方程式のコード

$x \gg p$ を、「コード $x$ のディオファントス方程式は解を持つ」ことを表すディオファントス方程式のコード

とするとどうなりますか

と入力すると以下の結果となりました。

$k = k \gg p \gg n$ において、以下のように解釈します：

$x \gg n$ は「コード $x$ のディオファントス方程式」の否定を表すディオファントス方程式のコード

$x \gg p$ は「コード $x$ のディオファントス方程式は解を持つ」ことを表すディオファントス方程式のコード

1. 解釈の整理

$x \gg p$ が「 $x$ のディオファントス方程式は解を持つ」ことを表すということは、

$x \gg n$ は「 $x$ のディオファントス方程式は解を持たない」ことを表すディオファントス方程式のコードです。
否定を表すので、次の関係が成立します：
$\displaystyle x \gg n = \text{not}(x \gg p)$

2. $k = k \gg p \gg n$ の展開

$\displaystyle k = k \gg p \gg n$
これを順に解釈します。

$k \gg p$ は、「 $k$ のディオファントス方程式は解を持つ」ことを表すディオファントス方程式のコード

$k \gg p \gg n$ は「 $k \gg p$ のディオファントス方程式は解を持たない」ことを表します。

したがって、 $k$ は次のような自己言及的な構造を持ちます：

$k$ は「 $k$ のディオファントス方程式は解を持つ」ことを表す

しかし同時に、「 $k$ のディオファントス方程式は解を持たない」ことをも表す

これは「この文は偽である」という自己言及的なパラドックスの構造と同様の矛盾を含みます。

3. 矛盾の導出

$k$ が「解を持つ」と仮定すると、 $k \gg p$ も解を持ちます。

しかし、 $k \gg p$ が解を持つならば、 $k \gg p \gg n$ はその否定を表すため、解を持たないことになります。

一方、 $k \gg p \gg n$ が解を持たないなら、 $k$ 自体が解を持たないことになります。

これは「解を持つ」と「解を持たない」が同時に成り立つことになり、矛盾が生じます。

4. 帰納的関数の不存在の証明

この矛盾は、 $k$ の定義が自己参照構造を持つことに起因します。

もしディオファントス方程式の解の存在を判定する帰納的関数が存在すると仮定すると、この矛盾が避けられません。

したがって、ディオファントス方程式が解を持つかどうかを判定する帰納的関数は存在しないことが証明されます。

結論

$p$ を「解を持つことを表すディオファントス方程式のコード」に、 $n$ を「その否定を表すディオファントス方程式のコード」に設定することで、自己言及的なパラドックスを利用して、ディオファントス方程式の解の存在判定の非帰納性を証明できます。