エラトステネスのふるいゲーム(8)
説明を ChatGPT で英語にしてもらいました。昔のPC風にしたいので英語にしたいのですが、昔のPC風は ChatGPT には伝わらないと思います。以下のように入力しました。
以下の説明を英語に直してください:
P と X は繰り返しの次の回に引き継がれます。
繰り返しの一回の実行前、
P は p より小さい素数全体、
X は p より小さい素数全体から作られるふるいを通り抜けたものから p より小さい素数全体を取り除いたものだとします。すると、p は素数です。なぜなら、
p は p より小さい素数全体から作られるふるいを通り抜けたものだからです。
そうであれば、
p は素数全体から作られるふるいを通り抜けたものであり、
p は 2 以上の整数全体から作られるふるいを通り抜けたものであり、
素数の定義より素数となります。繰り返しの一回の実行後は、
P は p より小さい素数全体に p を付け加えたものなので、p 以下の素数全体となります。X は p より小さい素数全体から作られるふるいを通り抜けたものから p より小さい素数全体を取り除いたものから、
さらに p を取り除き、その中で p から作られるふるいを通り抜けたものとなります。
よって
X は p 以下の素数全体から作られるふるいを通り抜けたものから p 以下の素数全体を取り除いたものとなります。よって繰り返しの終了後は、
P は k 以下の素数全体となります。
以下のようになりました。
Here is a natural and precise English translation of your explanation:
P and X are carried over to the next iteration.
Before each iteration, assume that:
- P is the set of all prime numbers less than
,
- X is the set obtained by taking the elements that pass through the sieve generated by all primes less than
Then,
Therefore,
- hence
- and by the definition of prime numbers,
After one iteration:
- P becomes the set obtained by adding
so P is the set of all primes less than or equal to
- X is obtained as follows:
Starting from the set of elements that pass through the sieve generated by all primes less than
, with those primes removed,
we further removeTherefore,
- X becomes the set obtained by taking the elements that pass through the sieve generated by all primes less than or equal to
Therefore, after the loop terminates:
- P is the set of all prime numbers less than or equal to
.
If you want, I can also make this more “game-like” (short pop-up messages) or more formal (closer to a proof assistant style).
良い感じになりました。
