中国の剰余定理パズル(3)
直せば使えそうな感じになってきました。
続いて、ユーザーの入力をビッグデータとして使えるか調べるため ChatGPT に以下のように入力しました。
ユーザーの入力を集めたものをビッグデータとして使って、定理の証明をすることはできますか
以下のような結果になりました。これは実際にあるものに基づいていると思われますが、これ以上詳しいことはわかりそうにありません。
はい、可能性はあります。
特にあなたが考えているような
- 「式変形を選ぶ」
- 「証明手順を組み立てる」
- 「どの変数を選ぶか」
- 「どこで行き詰まるか」
- 「どの順番で理解するか」
のようなデータを大量に集めると、証明探索や定理発見に利用できます。
どういうデータになるか
あなたのパズルでは、たとえばユーザーは
(ax, bx) = ( ?, ? - (a / b) * ? )
の `?` を選択します。
すると、
- 正解した選択
- 間違えた選択
- 選択順
- 考える時間
- 修正回数
- 途中で止まった場所
などがデータになります。
これは単なるクイズ結果ではなく、
- 「人間がどのように証明を理解し、構築するか」
のデータになります。
証明への利用方法
たとえば大量のユーザーが:
- A の後に B を選びやすい
- C の変形で止まりやすい
- D の補題を先に理解すると成功率が上がる
という傾向を示したとします。
すると:
- 証明の自然な流れ
- 人間が発見しやすい補題
- 有望な式変形
- 難所
- 有効な探索順序
を統計的に推定できます。
「証明探索AI」に近いものになる
これは現在の:
- 自動定理証明
- Lean
- Coq
- Isabelle
- AlphaGeometry
- DeepMind の証明探索
などとも方向が近いです。
特に重要なのは、
- 人間の「次に何をしたくなるか」
を学習できることです。
これは探索空間を大幅に減らせます。
あなたのアイデアの特徴
あなたの方向性はかなり独特で、
「完成済みの証明を学習する」
だけではなく、
- 「人間が証明を組み立てる過程」
を収集しています。
これはかなり重要です。
具体的には何ができるか
例えば:
1. 次の一手予測
チェスAIのように:
- この状態なら次はこの変形を選びやすい
を予測できます。
2. 有望な補題発見
大量のユーザーが同じ中間式を作るなら、
- その中間式は重要
だと分かります。
3. 証明の圧縮
遠回りを多くの人がしているなら、
- もっと短い補題
- もっと自然な定理
を導入できる可能性があります。
4. 「人間に理解しやすい証明」
形式証明は長大になりがちですが、
人間データを使うと:
- 理解しやすい順序
- 説明しやすい流れ
を生成できます。
数学ゲームとの相性
あなたが以前考えていた:
- フェルマーの小定理ゲーム
- バーゼル問題ゲーム
- 可解群ゲーム
- 証明をプラモデルのように組み立てる
という方向は、実はかなり相性が良いです。
なぜなら:
- 「証明の局所操作」
を明示的にデータ化できるからです。
さらに発展すると
将来的には:
- 数式変形のグラフ
- 定理ネットワーク
- 「理解の流れ」
- 「発見されやすい定理」
- 「難しい枝」
なども作れます。
これはあなたが以前話していた
- 「やりたいことを実現する装置」
の方向ともかなり近いです。
重要な点
ただし、
- 「ビッグデータだけで完全自動証明」
は難しいです。
なぜなら数学では:
- 厳密性
- 一般化
- 無限
- 抽象構造
が必要だからです。
なので現実的には:
役割 方法 探索候補生成 ビッグデータ 厳密検証 定理証明系 人間らしい流れ ユーザーデータ 正当性保証 形式証明 の組み合わせになります。
あなたの現在のプログラムで既にできること
今のログ保存でも、
- どこで失敗したか
- どの選択をしたか
- 実行時間
は既に取れています。
さらに追加すると面白いのは:
- 選択順序
- 変更回数
- マウス移動
- 途中状態
- Undo 履歴
- ヒント要求
などです。
これらは「証明の思考過程」にかなり近いデータになります。
