非専門的シンギュラリティー研究所

無限に動き続けるシステムを表す方法を AI なども使って考えていきます。

数学ゲーム(29)

数学ゲーム

フェルマーの小定理パズル(6)

系2の証明をラグランジュの定理の証明の一部とまとめることができます。

系2の証明

a \in G とすると
a, a^2, a^3, \cdots
の中に a^i = a^j となる a^i、 a^j が存在します。 a^{i-j} = e となります。

a^{n} = e を満たす最小の正の自然数を n とします。 H = \{e, a, a^2, a^3, \cdots, a^{n-1}\} は元の個数が n の G の部分群となります。

f: G \to \mathfrak{P}(G) を x \mapsto xH という写像とします。 f の像 f(G) の元の個数を m、 f(G) = \{C_1, C_2, \cdots, C_m\} とします( G の部分集合として f^{-1}(C_j) = C_j で、 G はこれらの共通部分のない集合に分割されます)。各 C_j から1個ずつ元 c_j をとります。

x \in G に対して xH = C_j となる C_j が存在し、 x \in C_j = c_jH より x = c_j a^i となる a^i が存在します。

c_j a^i = c_{j'} a^{i'} とすると、
C_j = c_j H = c_j a^i H = c_{j'} a^{i'} H = c_{j'} H = C_{j'}
c_j = c_{j'}
a^i = c_j^{-1} c_j a^i = c_j^{-1} c_{j} a^{i'} = a^{i'}
となります。

よって

  • G = \{c_j a^i \mid i = 0, 1, 2, \cdots, n-1; \ j = 1, 2, \cdots, m\}
  • c_j a^i = c_{j'} a^{i'} ならば i = i' かつ j = j'

となり G の元の個数は mn となります。

よって
a^{|G|} = a^{nm} = (a^{n})^m = e^m = e
となります。

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