数学ゲーム(31) - 非専門的シンギュラリティー研究所

フェルマーの小定理パズル(8)

二項定理の証明を少し書き直します。

二項定理の証明

(1) 単位元を持つ可換環 $R$ に対して単位元を持つ可換環 $R[X]$ を定義することができます。
(12) $a \in R$ に対して $\sigma_a: R[X] \to R$ を $\displaystyle \sigma_a(f) = \sum_{k=0}^{\infty} f_k a^k$ と定義します。 $\sigma_a$ は単位元を持つ可換環の準同型となります。
(13) $x, y \in R$ に対して $\displaystyle (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k! \ (n-k)!} x^k y^{n-k}$ が成り立ちます。( $n$ は自然数)

(1) 単位元を持つ可換環 $R$ に対して単位元を持つ可換環 $R[X]$ を定義することができます。

$R[X]$ を整数全体から $R$ への写像 $f$ で $0$ 以上の有限個の $k$ 以外は値 $f(k)$ が $0$ であるもの全体とします。 $f(k)$ を $f_k$ と書きます。 $f$ を $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} f_k X^k$ と書きます。

すべての $k$ に対して $f_k = 0$ である $f$ を $0$ とします。
$f_0 = 1$ であり、それ以外のすべての $k$ に対して $f_k = 0$ である $f$ を $1$ とします。
$(f + g)_k = f_k + g_k$ とします。 $R$ が可換環であることから加法の結合法則、交換法則が成り立ち、 $0$ は加法の単位元となります。
$(-f)_k = -f_k$ とします。 $-f$ は $f$ の加法の逆元となります。
$\displaystyle (fg)_k = \sum_{i=0}^{\infty} f_i g_{k-i}$ とします。 $R$ が単位元を持つ可換環であることから乗法の交換法則が成り立ち、 $1$ は乗法の単位元となります。
$R$ が可換環であることから分配法則が成り立ちます。

$\displaystyle ( (fg)h )_k = \sum_{i=0}^{\infty} (fg)_i h_{k-i} = \sum_{i=0}^{\infty} \left(\sum_{j=0}^{\infty}f_jg_{i-j}\right) h_{k-i} = \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty}f_jg_{i-j} h_{k-i}$
$\displaystyle ( f(gh) )_k = \sum_{j=0}^{\infty} f_j (gh)_{k-j} = \sum_{j=0}^{\infty} f_j \left(\sum_{s=0}^{\infty}g_sh_{k-j-s}\right) = \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{s=0}^{\infty}f_jg_sh_{k-j-s}$
であることから $( (fg)h )_k = ( f(gh) )_k$ となって

乗法の結合法則が成り立ちます。

よって $R[X]$ は単位元を持つ可換環となります。

(12) $a \in R$ に対して $\sigma_a: R[X] \to R$ を $\displaystyle \sigma_a(f) = \sum_{k=0}^{\infty} f_k a^k$ と定義します。 $\sigma_a$ は単位元を持つ可換環の準同型となります。

$\sigma_a(0) = 0$
$\sigma_a(1) = 1$
$\displaystyle \sigma_a(f + g) = \sum_{k=0}^{\infty} (f + g)_k a^k = \sum_{k=0}^{\infty} (f_k + g_k) a^k = \left(\sum_{k=0}^{\infty} f_k a^k\right) + \left(\sum_{k=0}^{\infty} g_k a^k\right) = \sigma_a(f) + \sigma_a(g)$
$\displaystyle \sigma_a(-f) = \sum_{k=0}^{\infty} (-f)_k a^k = \sum_{k=0}^{\infty} (-f_k a^k) = -\sum_{k=0}^{\infty} f_k a^k = -\sigma_a(f)$
$\displaystyle \sigma_a(fg) = \sum_{k=0}^{\infty} (fg)_k a^k = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\sum_{i=0}^{\infty} f_i g_{k-i}\right) a^k = \left(\sum_{k=0}^{\infty} f_k a^k\right) \left(\sum_{k=0}^{\infty} g_k a^k\right) = \sigma_a(f) \sigma_a(g)$

よって $\sigma_a$ は単位元を持つ可換環の準同型となります。

(13) $x, y \in R$ に対して $\displaystyle (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k! \ (n-k)!} x^k y^{n-k}$ が成り立ちます。( $n$ は自然数)

(2)、(3)、(7)、(10)、(12)から $\displaystyle (x + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k! \ (n-k)!} x^k$ が成り立ちます。 $x \ne 0$ のときは $x$ を $\displaystyle \frac{y}{x}$ で置き換えると $\displaystyle (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k! \ (n-k)!} x^k y^{n-k}$ が成り立ちます。この等式は $x = 0$ のときも成り立ちます。