証明路開発支援システム(6) - 非専門的シンギュラリティー研究所

ユークリッド整域、単項イデアル整域、一意分解整域について「群論の計算(20) - 非専門的シンギュラリティー研究所」に書いていましたが、「証明路」にするためにまとめておきます。この証明の一部は『可換環論の勘どころ (数学のかんどころ 32)』を参考にしています。『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』も参考にします。また、一意分解整域の既約元による定義についてもまとめておきます。

定義

$R$ を自明ではない単位元を持つ可換環とします。

整域

任意の $x, y \in R$ に対して $xy = 0$ ならば $x = 0$ または $y = 0$ であるとき、 $R$ を整域と呼びます。
体は整域となります。
整数全体からなる環 $\mathbb{Z}$ は整域となります。
$R$ が整域であるとき、 $R$ 上の多項式環 $R[X_1, X_2, \cdots , X_n]$ は整域となります。

ユークリッド整域

『可換環論の勘どころ (数学のかんどころ 32)』定義 2.55
『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』定義 1.11.16

$R$ を整域とします。以下の条件を満たす $f: R \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{N}$ が存在するとき $R$ をユークリッド整域と呼びます。

任意のに対して、ならば以下の条件を満たすが存在する。
- $a = bq + r$
- $r = 0$ または $f(r) \lt f(b)$

『可換環論の勘どころ (数学のかんどころ 32)』例 2.56・補題 1.55・補題 2.17
『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』命題 1.11.20・命題 1.11.21

整数全体からなる環 $\mathbb{Z}$ は、 $a$ の絶対値を $b$ の絶対値で割った商を $q$ 、余りを $r$ 、 $f(x)$ を $x$ の絶対値とすることによりユークリッド整域となります。
体 $K$ 上の多項式環 $K[X]$ は、 $a$ を $b$ で割った商を $q$ 、余りを $r$ 、 $f(x)$ を $\deg x$ とすることによりユークリッド整域となります。

単項イデアル整域 (principal ideal domain, PID)

『可換環論の勘どころ (数学のかんどころ 32)』定理 2.54 の前
『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』定義 1.11.15

$R$ を整域とします。 $R$ の任意のイデアルが単項イデアル( $I = Ra$ となる $a \in R$ が存在するようなイデアル $I$ )であるとき、 $R$ を単項イデアル整域と呼びます。

素イデアル・極大イデアル

環 $R$ の素イデアル全体の集合を $\operatorname {Spec} (R)$ と表します。
$P$ を環 $R$ の素イデアルとすると、 $R/P$ は整域となります。
環 $R$ の元 $a$ は $a \ne 0$ であって $(a)$ が $R$ の素イデアルであるとき $R$ の素元と呼びます。
素数 $p$ は整数環 $\mathbb{Z}$ の素元となります。 $(p) = p \mathbb{Z} = \{ p a \ | \ a \in \mathbb{Z} \}$ は $\mathbb{Z}$ の素イデアルとなります。
環のイデアルは
- 任意のイデアル $I \subseteq R$ に対して、 $M \subseteq I$ ならば $M = I$ または $I = R$
- を満たすとき極大イデアルと呼びます。
$M$ を環 $R$ の極大イデアルとすると、 $R/M$ は体となります。
環 $R$ のイデアル $\{ 0 \}$ を $0$ と表します。
$\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ は体となります。

既約元

$R$ を整域とします。

$a \in R$ は $ab = 1$ となる $b \in R$ が存在するとき $R$ の単元と呼びます。
はであって以下の条件を満たすときの既約元と呼びます。
- $a$ は $R$ の単元ではない
- 任意の $b, c \in R$ に対して $a = bc$ ならば $b$ が $R$ の単元であるかまたは $c$ が $R$ の単元である
環上の多項式環の既約多項式は既約元となります。

一意分解整域 (unique factorization domain, UFD)

『可換環論の勘どころ (数学のかんどころ 32)』定義 2.52
『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』定義 1.11.12

整域 $R$ の $0$ でも単元でもない任意の元 $a$ に対して素元 $p_1, p_2, \cdots , p_n \in R \ (n \ge 1)$ が存在して

$a = p_1 p_2 \cdots p_n$

と表すことができる(これを素元分解と呼びます)とき $R$ を一意分解整域と呼びます。

(1) ユークリッド整域は単項イデアル整域となります。

『可換環論の勘どころ (数学のかんどころ 32)』定理 2.57
『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』定理 1.11.17
[証明]
$R$ をユークリッド整域、 $I$ を $R$ のイデアルで $I \ne \{ 0 \}$ とします。
$a \in I$ を $a \ne 0$ で $f(a)$ が最小となる $I$ の元とします。
$b \in I$ をとると $b = aq + r$ であって、 $r = 0$ または $f(r) \lt f(a)$ となる $q, r \in R$ が存在します。
$f(a)$ は最小なので $r = 0$ となります。
よって $b = aq$ となり $I = Ra$ となります。
よって $R$ は単項イデアル整域となります。
[証明終わり]

(2) 整域の素元は既約元となります。

『可換環論の勘どころ (数学のかんどころ 32)』補題 2.50
『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』命題 1.11.9
[証明]
$R$ を整域、 $a$ を $R$ の素元とします。
$(a)$ は $R$ の素イデアルとなります。
素イデアルの定義より $a$ は $R$ の単元ではありません。
$a = bc$ 、 $b, c \in R$ とします。
$(a)$ は $R$ の素イデアルであるから $b \in (a)$ または $c \in (a)$ となります。
$b \in (a) = (bc)$ ならば $b = bcx$ となる $x \in R$ が存在するので $1 = cx$ となって $c$ は $R$ の単元となります。
同様に $c \in (a)$ ならば $b$ は $R$ の単元となります。
[証明終わり]

(3) $R$ を整域、 $n, m \ge 1$ とし、 $p_1, p_2, \cdots , p_n$ 、 $q_1, q_2, \cdots , q_m$ を $R$ の素元とすると、 $p_1 p_2 \cdots p_n = q_1 q_2 \cdots q_m$ ならば $n = m$ であり、適当に並べ替えると任意の $1 \le i \le n$ に対して $(p_i) = (q_i)$ となります。

『可換環論の勘どころ (数学のかんどころ 32)』命題 2.51
『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』命題 1.11.11
[証明]
$R$ を整域なので(2)より $p_1, p_2, \cdots , p_n$ 、 $q_1, q_2, \cdots , q_m$ は $R$ の既約元となります。
$n = 1$ のときは $p_1 = q_1 q_2 \cdots q_m$ となります。
$p_1$ は $R$ の既約元なので $(p_1) = (q_i)$ となる $i$ が存在して、その他の $q_j$ はすべて単元となりますが、 $q_j$ は既約元なので単元となることはありません。
よって $m = 1$ であり $(p_1) = (q_1)$ となります。
$n \gt 1$ として、 $n$ より小さい場合は主張が成り立っているとします。
$(p_1) \supseteq (p_1 p_2 \cdots p_n) \ni q_1 q_2 \cdots q_m$ であり $(p_1)$ は素イデアルであるから $(p_1) \ni q_i$ となる $i$ が存在します。
番号を付け替えてこの $q_i$ を $q_1$ とします。
$a p_1 = q_1$ となる $a \in R$ が存在します。
$q_1$ は既約元なので $a$ は単元となります。
$a p_1 p_2 \cdots p_n = a q_1 q_2 \cdots q_m$ となるので $q_1 p_2 \cdots p_n = a q_1 q_2 \cdots q_m$ となります。
$R$ は整域なので $p_2 \cdots p_n = a q_2 \cdots q_m$ となります。
$a$ は単元なので帰納法の仮定より $n = m$ であり、適当に並べ替えると任意の $2 \le i \le n$ に対して $(p_i) = (q_i)$ となります。
したがって主張が成り立ちます。
[証明終わり]

(4) 一意分解整域の既約元は素元となります。

『可換環論の勘どころ (数学のかんどころ 32)』補題 2.53
『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』命題 1.11.13
[証明]
$R$ を一意分解整域、 $a \in R$ を既約元とします。
素元 $p_1, p_2, \cdots , p_n \in R \ (n \ge 1)$ が存在して $a = p_1 p_2 \cdots p_n$ と表すことができます。
$a$ は既約元なのである1つの $p_i$ 以外の $p_j$ は単元となります。
よってある単元 $b$ が存在して $a = b p_i$ となり、 $(a) = (p_i)$ となるので $a$ は素元となります。
[証明終わり]

(5) 単項イデアル整域の既約元は素元となります。

『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』定理 1.11.18 の証明を参照
[証明]
$R$ を単項イデアル整域、 $p \in R$ を既約元とします。
$a \in R$ 、 $b \in R$ 、 $ab \in (p)$ とします。
(2)より $(p, a) = (g)$ を満たす $g$ が存在します。
$p \in (p, a) = (g)$ であるから $p = gq$ を満たす $q$ が存在します。
$p$ は既約元なので $(g) = (1)$ または $(q) = (1)$
$(q) = (1)$ とすると $p = g$ となって $a \in (p, a) = (g) = (p)$ となります。
$(g) = (1)$ とすると $(p, a) = (g) = (1)$ となって $b \in (p, a)(b) \subseteq (pb) + (ab) \subseteq (p)$ となります。
[証明終わり]

(6) 単項イデアル整域は一意分解整域となります。

『可換環論の勘どころ (数学のかんどころ 32)』定理 2.54
『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』定理 1.11.18
[証明]
$R$ を単項イデアル整域とします。
$R$ の単元全体の集合を $R^\times$ とおきます。
$u, v \in R^\times$ ならば $uv \in R^\times$ となります。
$u \in R^\times$ 、 $p$ が既約元ならば $up$ は既約元となります。
$(a) = (b)$ ならば $a = ub$ となる $u \in R^\times$ が存在します。
$R$ の既約元の1個以上の有限個の積全体の集合を $P$ とおきます。
すなわち $P = \{ p_1 p_2 \cdots p_n \ | \ p_1, p_2, \cdots , p_n \in R, p_1, p_2, \cdots , p_n は既約元 , n \ge 1 \}$ とおきます。
$\displaystyle I = \bigcup_{x \in R \setminus (P \cup R^\times) } (x)$ とおくと $I$ は $R$ のイデアルとなります。
$R$ は単項イデアル整域なので $I = (a)$ となる $a \in R$ が存在します。
$a \in (x)$ となる $x \in R \setminus (P \cup R^\times)$ が存在します。
$(a) = (x)$ となります。
$a \in R^\times$ とすると、 $x \in R^\times$ となります。
$a \in P$ とすると、 $x \in P$ となります。
どちらも $x \notin P \cup R^\times$ に反します。
よって $a \notin P \cup R^\times$ となります。
$a \ne 0$ とすると $a$ は既約元ではないので、 $a = bc$ であって、 $b \notin R^\times$ 、 $c \notin R^\times$ となる $b, c \in R$ が存在します。
$(a) = (b)$ とすると、 $a = ub$ となる $u \in R^\times$ が存在します。
$ub = bc$ 、 $c = u \in R^\times$ となって $c \notin R^\times$ に反するので $(a) \ne (b)$ となります。
よって $b \notin P$ とすると、 $b \in (a)$ となって $(a) = (bc) \subseteq (b)$ に反するので $b \in P$ となります。
同様に $c \in P$ となります。
よって $a = bc \in P$ となって $a \notin P$ であることに矛盾します。
よって $a = 0$ となって $R = P \cup R^\times \cup 0$ となり主張が成り立ちます。
[証明終わり]

(7) 単項イデアル整域の $0$ ではない素イデアルは極大イデアルとなります。

『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』命題 1.11.19
[証明]
$P$ を単項イデアル整域 $R$ のイデアルで $P \ne \{0\}$ として、 $A$ を $R$ のイデアルで $P \subseteq A$ であるものとします。
$R$ のイデアルは単項生成なので $P = (p)$ 、 $A = (a)$ となる $p, a \in R$ が存在します。
$(p) \subseteq (a)$ となり $p = ab$ となる $b \in R$ が存在します。
$P = (p)$ は素イデアルなので $a \in P$ または $b \in P$ となります。
$a \in P$ ならば $P = A$ となります。
$b \in P$ ならば $b = pc$ となる $c \in R$ が存在するので $p = apc$ となって $A = (a) \supseteq (ac) = (1) = R$ となります。
[証明終わり]

(8) $R$ を単項イデアル整域、 $p$ を $R$ の既約元とすると $R/(p)$ は体となります。

『代数学２　環と体とガロア理論　第２版』命題 1.11.19 の後半
[証明]
$R$ を単項イデアル整域、 $p$ を $R$ の既約元とすると(5)より $p$ は素元となります。
$(p)$ は素イデアルとなり(7)より $(p)$ は極大イデアルとなります。
よって $R/(p)$ は体となります。
[証明終わり]

一意分解整域の別の定義

整域 $R$ が一意分解整域であることは以下の条件(a)と(b)が成り立つことと同値となります(wikipedia:一意分解環を見るとこちらの既約元による定義になっています)。

(a) 既約元の積に分解可能

$R$ の $0$ でも単元でもない任意の元 $a$ に対して既約元 $p_1, p_2, \cdots , p_n \in R \ (n \ge 1)$ が存在して

$a = p_1 p_2 \cdots p_n$

と表すことができる。

(b) 既約元の積の表現は一意的

$n, m \ge 1$ とし、 $p_1, p_2, \cdots , p_n$ 、 $q_1, q_2, \cdots , q_m$ を $R$ の既約元とすると、 $p_1 p_2 \cdots p_n = q_1 q_2 \cdots q_m$ ならば $n = m$ であり、適当に並べ替えると任意の $1 \le i \le n$ に対して $(p_i) = (q_i)$ となる。

(9) 一意分解整域ならば(a)

[証明]
(2)より成り立ちます。
[証明終わり]

(10) 一意分解整域ならば(b)

[証明]
(4)と(3)より成り立ちます。
[証明終わり]

(11) (a)(b)ならば既約元は素元となります。

[証明]
$a$ を $R$ の既約元、 $a \mid bc$ とします。
$d \in R$ が存在して $ad = bc$ となります。
(a)より $R$ の既約元 $p_1, p_2, \cdots , p_n$ 、 $q_1, q_2, \cdots , q_m$ 、 $r_1, r_2, \cdots , r_k$ が存在して $b = p_1 p_2 \cdots p_n$ 、 $c = q_1 q_2 \cdots q_m$ 、 $d = r_1 r_2 \cdots r_k$ となります。
$a r_1 r_2 \cdots r_k = p_1 p_2 \cdots p_n q_1 q_2 \cdots q_m$ となります。
(b)より $a$ は $p_1, p_2, \cdots , p_n$ 、 $q_1, q_2, \cdots , q_m$ のどれかと同伴となります。