証明路開発支援システム(11)

「証明路開発支援システム(6) - 非専門的シンギュラリティー研究所」の証明を「証明路」にしていきます。まず(1)から(4)までを考えます。

(1) ユークリッド整域は単項イデアル整域となります。

[証明]

• をユークリッド整域とします。
  
• が単項イデアル整域であることを証明します。
  • を のイデアルで とします。
    
  • が単項イデアルであることを証明します。
    • を で が最小となる の元とします。
      
    • であることを証明します。
      • をとります。
        
      • であることを証明します。
        • がユークリッド整域であることから、 であって、 または となる が存在します。
          
        • は最小なので となります。
          
        • よって となります。
      • よって となります。
    • よって は単項イデアルとなります。
  • よって は単項イデアル整域となります。

[証明終わり]

(2) 整域の素元は既約元となります。

[証明]

• を整域、 を の素元とします。
  
• が既約元となることを証明します。
  • 既約元の定義より は の単元ではありません。
    
  • 、 とします。
    
  • が の単元または が の単元となることを証明します。
    • が の素元であるから または となります。
      1. のとき
         • から となる が存在するので となって は の単元となります。
           
         • が の単元または が の単元となります。
      2. のとき
         • から となる が存在するので となって は の単元となります。
           
         • が の単元または が の単元となります。
  • よって は既約元となります。

[証明終わり]

(3) を整域、 とし、、 を の素元とすると、 ならば であり、適当に並べ替えると任意の に対して となります。

[証明]

• は整域なので(2)より 、 は の既約元となります。
  
• に関する帰納法で証明します。
  1. の場合を証明します。
     • となります。
       
     • は の既約元なので となる が存在して、その他の はすべて単元となりますが、 は既約元なので単元となることはありません。
       
     • よって であり となります。
  2. として、 より小さい場合は主張が成り立っているとし、 の場合も成り立つことを証明します。
     • であり は素イデアルであるから となる が存在します。
       
     • 番号を付け替えてこの を とします。
       
     • となる が存在します。
       
     • は既約元なので は単元となります。
       
     • となるので となります。
       
     • は整域なので となります。
       
     • は単元なので帰納法の仮定より であり、適当に並べ替えると任意の に対して となります。
       
     • よって の場合も成り立ちます。

[証明終わり]

(4) 一意分解整域の既約元は素元となります。

[証明]

• を一意分解整域、 を既約元とします。
  
• が一意分解整域であることから素元 が存在して と表すことができます。
  
• は既約元なのである1つの 以外の は単元となります。
  
• よってある単元 が存在して となり、 となるので は素元となります。

[証明終わり]

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