非専門的シンギュラリティー研究所

無限に動き続けるシステムを表す方法を AI なども使って考えていきます。

証明路開発支援システム(12)

証明路開発支援システム

次に「証明路開発支援システム(6) - 非専門的シンギュラリティー研究所」の(5)から(8)までを見ていきます。

(5) 単項イデアル整域の既約元は素元となります。

[証明]

$R$ を単項イデアル整域、 $p \in R$ を既約元とします。
が素元であることを証明します。
- $a \in R$ 、 $b \in R$ 、 $ab \in (p)$ とします。
- またはであることを証明します。
  - (2)より $(p, a) = (g)$ を満たす $g$ が存在します。
  - $p \in (p, a) = (g)$ であるから $p = gq$ を満たす $q$ が存在します。
  - は既約元なのでまたはが成り立ちます。
    1. $(q) = (1)$ とすると $p = g$ となって $a \in (p, a) = (g) = (p)$ となります。
    2. $(g) = (1)$ とすると $(p, a) = (g) = (1)$ となって $b \in (p, a)(b) \subseteq (pb) + (ab) \subseteq (p)$ となります。

[証明終わり]

(6) 単項イデアル整域は一意分解整域となります。

[証明]

$R$ を単項イデアル整域とします。
$R$ の単元全体の集合を $R^\times$ とおきます。
$u, v \in R^\times$ ならば $uv \in R^\times$ となります。
$u \in R^\times$ 、 $p$ が既約元ならば $up$ は既約元となります。
$(a) = (b)$ ならば $a = ub$ となる $u \in R^\times$ が存在します。
が一意分解整域となることを証明します。
- のでも単元でもない任意の元に対して素元が存在してと表すことができることを証明します。
  - $R$ の既約元の1個以上の有限個の積全体の集合を $P$ とおきます。
  - すなわち $P = \{ p_1 p_2 \cdots p_n \ | \ p_1, p_2, \cdots , p_n \in R, p_1, p_2, \cdots , p_n は既約元 , n \ge 1 \}$ とおきます。
  - となることを証明します。
    - $\displaystyle I = \bigcup_{x \in R \setminus (P \cup R^\times) } (x)$ とおくと $I$ は $R$ のイデアルとなります。
    - $R$ は単項イデアル整域なので $I = (a)$ となる $a \in R$ が存在します。
    - $a \in (x)$ となる $x \in R \setminus (P \cup R^\times)$ が存在します。
    - $(x) \subseteq I = (a)$ なので $(a) = (x)$ となります。
    - であることを証明します。
      - $a \in R^\times$ とすると、 $x \in R^\times$ となります。
      - $a \in P$ とすると、 $x \in P$ となります。
      - どちらも $x \notin P \cup R^\times$ に反します。
    - ならばとなるのでとなり主張が成り立つので、であることを証明します。
      - $a \ne 0$ とすると $a$ は既約元ではないので、 $a = bc$ であって、 $b \notin R^\times$ 、 $c \notin R^\times$ となる $b, c \in R$ が存在します。
      - $b \in P$ であることを証明します。
        
        $(a) \ne (b)$ であることを証明します。
        
        $(a) = (b)$ とすると、 $a = ub$ となる $u \in R^\times$ が存在します。
        
        $ub = bc$ 、 $c = u \in R^\times$ となって $c \notin R^\times$ に反します。
        $b \notin P$ とすると、 $b \in (a)$ となって $(a) = (bc) \subseteq (b)$ に反します。
      - 同様に $c \in P$ となります。
      - よって $a = bc \in P$ となって $a \notin P$ であることに矛盾します。

[証明終わり]

(7) 単項イデアル整域の $0$ ではない素イデアルは極大イデアルとなります。

[証明]

$P$ を単項イデアル整域 $R$ の素イデアルで $P \ne \{0\}$ とします。
がの極大イデアルであることを証明します。
- $A$ を $R$ のイデアルで $P \subseteq A$ であるものとします。
- またはとなることを証明します。
  - $R$ のイデアルは単項生成なので $P = (p)$ 、 $A = (a)$ となる $p, a \in R$ が存在します。
  - $(p) \subseteq (a)$ となり $p = ab$ となる $b \in R$ が存在します。
  - は素イデアルなのでまたはとなります。
    1. $a \in P$ ならば $P = A$ となります。
    2. $b \in P$ ならば $b = pc$ となる $c \in R$ が存在するので $p = apc$ となって $A = (a) \supseteq (ac) = (1) = R$ となります。

[証明終わり]

(8) $R$ を単項イデアル整域、 $p$ を $R$ の既約元とすると $R/(p)$ は体となります。

[証明]

$R$ を単項イデアル整域、 $p$ を $R$ の既約元とします。
が体となることを証明します。
- が極大イデアルならばが体となるのでが極大イデアルとなることを証明します。
  - (5)より $p$ は素元となります。
  - $(p)$ は素イデアルとなり(7)より $(p)$ は極大イデアルとなります。

[証明終わり]

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